bei drei Unbekannten und drei Gleichungen hat man genau dann eine eindeutige Lösung, wenn die Gleichungen voneinander linear unabhängig sind, d.h. wenn man keine Gleichung in Abhängigkeit von den andere schreiben kann.
Daher willst du dein r so wählen, dass man eben das kann.
Im Prinzip musst du also ein r finden sodass es Werte x und y gibt mit:
x(ra+b-2c) + y(4a+rb+c) = 2a+3b+5c
oder
x(ra+b-2c) + y(2a+3b+5c) = 4a+rb+c
oder
x(2a+3b+5c) + y(4a+rb+c) = ra+b-2c
Wähl dir eine aus und stell sie als Gleichungssystem über a, b und c auf und du kommst hin
edit: Determinante? Ich hätte getippt, du wärst Schüler bei so einer Aufgabe. Erstie?
Aber mit Determinante geht natürlich auch, ein LGS kann man ja mit dem Gaussverfahren lösen bei dem ja eine Dreiecksmatrix entsteht. Und nur wenn das Ding vollen Rang hat, ist die Lösung eindeutig, sprich wenn du das r so gewählt hast, dass die Determinante 0 ist (<=> der Rang nicht voll ist), passt das natürlich auch (ich nehm mal an, die Variante meintest du mit "über die Determinante"). Bei so kleinen Gleichungssystemen zieh ich meine imho bequemere Variante jedoch vor. Ist aber mit Determinante besser, wenn mans im Allgemeinen lernen will.
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