Schwierig, meiner Erfahrung nach haben Bewerbungen, dessen Absender von weiter weg als 50 KM adressiert sind, kaum Chancen.
D.h. schreibt er unter seiner alten Nicht-Hamburg-Adresse, dann sollte er den Satz mit reinnehmen, auch wenn es ein klein wenig ungeschickt ist, private Belange zu erwähnen.
Das Klügste wäre deswegen mit Sicherheit, als Adresse und Absender eine Adresse in Hamburg anzugeben, einen Freund beispielsweise, der die Bewerbungen entgegennehmen kann.
Wenn du deine Ausbildung dann beginnst und umziehst, kannst du im Arbeitsvertrag und der Lohnbuchhaltung deine Adresse immer noch auf die neue hamburger Adresse ändern lassen.
Wenn du das also nicht an die große Glocke hängst, fährst du damit am Besten.