Im Prinzip bedeutet total differenzierbar, dass es keine Spitzen und Ecken hat, an denen sich die "Steigung" ohne Übergang endet.
Für mehrere Variablen bedeutet das, dass jede beliebige "Kurve" darin differenzierbar ist (bzw die Kurven, die durch den Punkt gehen, in dem es sein soll)
Für einen Gegenbeweis reicht es, zwei Kurven rauszusuchen und zu zeigen, dass die Grenzwerte ihrer Steigungen verschieden sind.
maW: du suchst dir zwei (differenzierbare) Funktionen f,g: R->R² die wiederrum Funktionen f~, g~ bilden nach dem Prinzip:
f~ := F(f1(t),f2(t))
g~ := F(g1(t),g2(t))
und zeigst, dass die verschiedene Grenzwerte haben
Ein Tip am Rand: solche Funktionen wie dein F sind meist auch nicht stetig - und da aus nicht stetig folgt, dass etwas nicht differenzierbar ist... sprich wenn du solche f und g findest, sodass ihre Grenzwerte (und nicht erst die ihrer "Ableitungen") verschieden sind oder in dem Beispiel ein f, das an dem Punkt einen Grenzwert ungleich 0 hat, dann bist du fertig
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class Dog { //(...)
boolean getBuddha() { throw NullPointerException; } }
Spielt Hero-Chan!
Du weisst dass aus der totalen Differenzierbarkeit die Stetigkeit der Funktion folgt. Also ist die Funktion nicht total differenzierbar wenn man zeigen kann, dass sie nicht stetig ist. Das kannst du auch, denn wenn du zB. die Folge (x,y)=(1/n,1/n) nimmst, dann siehst du das der Grenzwert n gegen inf der Funktion 1/2 ist. Nimmst du jedoch die Folge (1/n,1/n^2), dann ist er 0.
Die partielle Differenzierbarkeit kannst du einfach durch partielles Ableiten zeigen. Du musst aber darauf achten, dass du (x,y)=(0,0) seperat betrachtest, wobei die Funktion da ja identisch Null ist. Zeig einfach dass überall die partiellen Ableitungen existieren.
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