Problem mit komplexen Zahlen

**TheBiber** · 18.01.2009 17:41

Bei den Übungsklausuren zur Signaltheorie geht es oft ums komplexe Rechnen. Normalerweise stellen diese Zahlen für mich kein grösseres Problem dar, doch jetzt bin ich auf einen relativ unverständlichen Widerspruch gestossen, den ich selbst noch nicht durchschaut habe. Zur Information: In der Elektrotechnik wird für die imaginäre Einheit der Buchstabe j verwendet, es gilt also $j^2=-1$

Gegeben ist $e^{j\theta}=\frac{1+\frac{j\omega}{c}}{1-\frac{j\omega}{c}}$

Es gilt nun, einen Zusammenhang zwischen $\theta$ und $\omega$ herzustellen und anschliessend ein $\omega_0$ zu bestimmen, für das $\theta=\frac{\pi}{2}$ gilt.

Meine Lösung sieht folgendermassen aus:

$e^{j\theta}=\frac{1+\frac{j\omega}{c}}{1-\frac{j\omega}{c}} = \frac{c+j\omega}{c-j\omega} = \frac{c^2+2j\omega-\omega^2}{c^2+\omega^2} = \frac{c^2-\omega^2}{c^2+\omega^2}+j\frac{2\omega}{c^2+\omega^2}$

Ich habe die rechte Seite auf die kartesische Form gebracht. $\theta$ entspricht deshalb dem Argument dieses Ausdrucks und ist gegeben als $\theta=\arctan(\frac{2\omega}{c^2-\omega^2})$ . Aus $\theta=\frac{\pi}{2}$ folgt $\frac{2\omega_0}{c^2-\omega_0^2}=\tan(\frac{\pi}{2})=\frac{\sin(\frac{\pi}{2})}{\cos(\frac{\pi}{2})}$ und deshalb $\omega_0\rightarrow\infty$ .

Laut meiner Musterlösung ist dieses Vorgehen aber falsch, aber ich weiss nicht wieso, da ich ja nichts anderes gemacht habe, als einfache Umformungen und anschliessend das Argument berechnet. Die Musterlösung geht alternativ, aber nicht weniger falsch vor und kommt auf ein völlig anderes Ergebnis:

$\theta = \arg(\frac{1+j\frac{\omega}{c}}{1-j\frac{\omega}{c}}) = \arg(1+j\frac{\omega}{c})-\arg(1-j\frac{\omega}{c}) = 2\arg(1+j\frac{\omega}{c})= 2\arctan\frac{\omega}{c}$

Daraus folgt für $\theta=\frac{\pi}{2}$ : $2\arctan\frac{\omega_0}{c} = \frac{\pi}{2}$ und daraus $\omega_0 = c\cdot\tan\frac{\pi}{4} = c$ .

Ich wäre dankbar, wenn es irgendjemand schaffen würde, den Widerspruch aufzudecken. Ich schaffte es bisher nämlich nicht.

EDIT: Bah, funktioniert etwa TEX nicht mehr oder werden die Bilder nur bei mir nicht angezeigt?

EDIT: Super, danke.

Hatte jetzt noch einige Tippfehler korrigiert.

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