OV - Ortsvektor (wobei die Bezeichnung wirklich relativ ist)
NV - Normalenvektor bzw normierter Vektor (|V| = 1)

q * (P - C)a = Ca + t * Na + r * Ua + s * (N x U)a mit a als Achsenindex

Durch jeweils drei bekannte Achsenanteile kannst du drei Gleichungen mit drei Unbekannten aufstellen, ein lineares Gleichungssystem halt. Gelöst wird es in diesem Fall durch den vorhin schon erwähnten Gaußschen Algorithmus (Den du dir ruhig mal anschauen kannst).

Zuerst einige Substitutionen:
A = U x N
B = P - C

Dn = N3 * Bn / B3 - Nn
En = Un - U3 * Bn / B3
Fn = An - A3 * Bn / B3

G = D1 - D2 * F1 / F2
H = E1 - E2 * F1 / F2
I = N3 + D3 * A3 / F2
J = U3 - E2 * A3 / F2

Hier die gesuchten Größen:
r = t * G / H
s = t * (D2 - G * E2 / H) / F2
q = t * (I + G * J / H) / B3

Übrigens, N gibt die Richtung der Ebene an, t hingegen die Position. Bei dieser in der Tat relativ langen Rechnung kann es sein, dass ich mich vertippt habe, dann einfach meckern . Dann geb ich mich nochmal dran, sollte ich die Zeit finden.