Der Standard-Ansatz für eine quadratische Funktion lautet:
f(x) = ax² + bx + c

Stammfunktion:
F(x) = (1/3)ax³ + (1/2)bx² + cx
(Eigentlich kommt noch die Integrationskonstante hinzu, aber die sollt ihr vermutlich erstmal nicht beachten, weil man die Lösung des linearen Gleichungssystems weiter unten sonst nur mit ein paar Tricks hinbekommen würde.)

Du hast gegeben:
(i) f(-3) = 0 (Schnitt mit x-Achse bei -3)
(ii) f(1) = 0 (Schnitt mit x-Achse bei 1)
(iii) F(1) - F(-3) = 32 (Integral von -3 bis 1)

Setzt du diese Werte ein, erhältst du (wenn ich mich nicht verrechnet habe) folgendes lineares Gleichungssystem:
(LGS1)
(i) 9a - 3b + c = 0
(ii) a + b + c = 0
(iii) (28/3)a - 4b + 4c = 32

Das kannst du lösen, dafür habt ihr bestimmt Verfahren kennengelernt. Du erhältst als (eindeutige) Lösung dann die Werte von a, b und c, die gesuchten Koeffizienten des Funktionsterms f(x) = ax² + bx + c.



Ich bekomme a=-3, b=-6, c=9 heraus. Die Funktion f, die sich daraus ergibt, erfüllt gerade die geforderten Bedingungen.