Du weisst dass aus der totalen Differenzierbarkeit die Stetigkeit der Funktion folgt. Also ist die Funktion nicht total differenzierbar wenn man zeigen kann, dass sie nicht stetig ist. Das kannst du auch, denn wenn du zB. die Folge (x,y)=(1/n,1/n) nimmst, dann siehst du das der Grenzwert n gegen inf der Funktion 1/2 ist. Nimmst du jedoch die Folge (1/n,1/n^2), dann ist er 0.

Die partielle Differenzierbarkeit kannst du einfach durch partielles Ableiten zeigen. Du musst aber darauf achten, dass du (x,y)=(0,0) seperat betrachtest, wobei die Funktion da ja identisch Null ist. Zeig einfach dass überall die partiellen Ableitungen existieren.