Frage zu Taylorreihen

[TheBiber]

Der Begriff des Konvergenzradius macht eigentlich nur bei unendlichen Reihen einen Sinn, in diesem Fall also, wenn du den Grad des Taylorpolynoms gegen unendlich gehen lässt. Das Problem an Reihen ist ja, dass sie divergieren können. Allgemein hat eine Potenzreihe folgende Form:
Jetzt ist es so, dass für gewisse x die Reihe divergiert und somit an diesen Stellen nicht mehr auswertbar wird. Der Konvergenzradius gibt dir dann den Bereich für die x an, in denen die Reihe konvergiert und ist abhängig von den Vorfaktoren . Der Konvergenzradius berechnet sich nach folgender Formel:
Allerdings ist das Thema schon eine Weile her und ich bin kein Mathematiker, weshalb ich dir die Formel nicht beweisen kann. Ich kann sie höchstens anhand eines Beispiels vorrechnen, am besten nehme ich gleich dein eigenes Beispiel:

Ich entwickle immer noch um den Punkt 0, dann erhalte ich:
Darauf zu kommen ist nicht ganz einfach, man muss die Vorfaktoren durch einen allgemeinen Ausdruck ersetzen können, hier hilft einfach probieren und überlegen, ich brauchte auch einige Zeit.

Jedenfalls sind die Vorfaktoren jetzt gegeben als .
Damit lässt sich der Konvergenzradius berechnen, nur ist dieser selbst nicht konvergent, sondern alternierend, da ich jeweils im Zähler und im Nenner abwechslungsweise Nullen bekomme, weil die Potenzreihe ausschliesslich aus geraden Potenzen besteht. In diesem Fall bringt der Konvergenzradius also nicht viel. Allerdings gibt es meines Wissens nach noch andere Möglichkeiten, ihn zu berechnen und ich vermute jetzt einfach mal, dass der Konvergenzradius in diesem Fall gegen unendlich geht, d.h. die Potenzreihe konvergiert für alle reellen x. Aber dies zu zeigen, ist zumindest für mich zu schwer.