Frage zu Taylorreihen

[TheBiber]

Die Rechung stimmt, habs mit einem CAS überprüft (nach der letzten Klausur gestern bin ich zu faul, um selbst zu rechnen ).

Wie du sicher schon weisst, versucht man mit einem Taylorpolynom eine Funktion an einem bestimmten Punkt zu einem bestimmten Grad zu approximieren. Wie du richtig erkannt hast, heisst das überhaupt nicht, dass das Taylorpolynom Punkte mit der Originalfunktion gemeinsam haben muss, mit Ausnahme des Entwicklungspunktes. Was du beim Rechnen tust ist folgendes: Du wählst einen Punkt auf deiner Funktion und erstellst ein Polynom, dass die Funktion möglichst gut annähert. Je höher der Grad des Polynoms, desto besser die Approximation. Lässt man den Grad gegen unendlich gehen, erhält man eine Reihe, die sogenannte Taylorreihe, welche die Funktion selbst wieder darstellt. Doch die Approximation ist immer ungenau.

Hier mal kurz den Funktionsplot:



Schwarz:
Rot:

Wie du siehst, stimmen die Kurven in der Nähe des Entwicklungspunktes 0 relativ gut überein, während sie gegen aussen immer weniger übereinstimmen. Würde man den Grad des Polynoms erhöhen, würden die Kurven auch gegen aussen besser übereinstimmen. Doch genau gleich werden sie ausschliesslich im Grenzfall.

Noch etwas zum Sinn des Ganzen: Das Taylorpolynom wird in der Physik und in den Ingenieurswissenschaften exzessive verwendet, um für bestimmte Bereiche komplizierte Funktionen durch einfach zu handhabende Polynome zu ersetzen. Stell dir vor, dein ln(1+x²) wäre der Verlauf einer potentiellen Energie, dessen Ableitung die Kraft und somit die Inhomogenität einer Differentialgleichung zweiten Grades darstellt, zum Lösen ein einziger Horror. Für kleine Auslenkungen aus dem Stabilitätspunkt lässt sich die Funktion so aber als Parabel annähern und die Differentialgleichung ist analytisch deutlich einfacher zu lösen, da die Inhomogenität linear wird.

Würdest du die Funktion an einem anderen Punkt auswerten, hättest du wahrscheinlich ein vollständiges Polynom dritten Grades bekommen. Doch bei speziellen Punkten wie Extremalstellen fallen gezwungenermassen Vorfaktoren weg, da bestimmte Ableitungen null werden.

Da fällt mir noch ein, in der Mathematik gibt es ebenfalls Anwendungen, beispielsweise lässt sich die eulersche Formel über die Taylorreihe ziemlich bequem beweisen, also bequem genug für Nicht-Mathematiker.