Fragen zu Vektorräumen und Matrizen

[noRkia]

also das mit den matrizen klingt vernüftig.klar das sind ja dann die sog elementar matrizen (dafür waren die also da) ^ ^

das andere muss ich nachher mal überprüfen.

mit dem homomorphismus zeug das dient scheinbar nur der verwirrung,natürlich sind das alles lineare abbildungen sonst mach der ganze vektorraum und basis kram ja keinen sinn -.-

[TheBiber]

Man könnte noch überprüfen, ob die Elementarmatrizen eine kanonische Standardbasis bilden. Dazu müsste man dann ein passendes Skalarprodukt einführen, was wiederum irgendwie über die Norm geht.

Prinzipiell ist aber jede Menge von linear unabhängigen Matrizen eine Basis.

[MagicMagor]

Homk(V,W) ist die menge aller homomorphismen und auch ein vektorraum (das kann ich auch nachrechnen).
aber was ist denn die basis davon? ist es die identitätsabbildung? (bei automorphismen?)

...

Es gibt zu einem Vektorraum in der Regel mehr als nur eine Basis. Eine Basis ist ja eine Menge linear unabhängigen Vektoren mit denen sich alle Vektoren des Vektorraums darstellen lassen.

Du kannst dir hier zunutze machen, daß jedem Homomorphismus eine Matrix A zugeordnet ist, so das f: V -> W definert ist durch: x |-> Ax
Das bedeutet du kannst jedem Hom. eine Matrix zuordnen und umgekehrt. Es existiert also eine bijektive Abbildung zwischen dem Raum der Homomorphismen und dem Raum der Matrizen der entsprechenden Dimension.
Wenn du nun eine Basis deines Matrizenraumes nimmst und darauf diese bijektive Abbildung anwendest, erhälst du eine Basis des Homomorphismenraums.

Falls ich hier irgend etwas falsche labere, korrigiert mich, eigentlich müsste ich den Kram können =).