Fragen zu Vektorräumen und Matrizen

[TheBiber]

Du packst da auch noch schweres Geschütz auf.

Ich hatte zuwenig lineare Algebra, um zu wissen was ein Homomorphismus oder Automorphismus ist. Aber vielleicht kannst du es mir ja erklären?

Zum ersten: Soweit ich mich entsinne, gibt es eine Transformation der Matrix A, wenn man eine andere Basis von Kn als die kanonische Standardbasis wählt. Leider weiss ich nicht mehr genau, wie das mit der Basistransformation geht. Es sollte aber auf eine invertierbare Transformationsmatrix T führen, die auf x angewendet wird, die Abbildung wird dann zu: . Dies kann wieder auf die Standardbasis umgeformt werden , womit die transformierte Matrix in der alten Basis einfach ist.

Ich hoffe mal, das hilft was... wenn es denn überhaupt darum ging, ist schon ewig her.

EDIT:
Ich habe mal kurz was über Homomorphismen gelesen. Bei Vektorräumen handelt es sich hier also um lineare Abbildungen. Diese werden durch Matrizen in Km x n dargestellt und gehorchen tatsächlich den Gesetzen eines Vektorraums. Für eine Basis der Dimension m x n brauchst du mn linear unabhängige Basisvektoren, also Matrizen in diesem Fall. Im einfachsten Fall nimmt man Null-Matrizen und füllt bei jeder Matrix an einer einzigen, aber immer verschiedenen, Stelle eine 1 ein.

Ich erklärs an einem Beispiel: Die Menge der Homomorphismen der Vektorräume K2 und K3 wird durch (2 x 3)-Matrizen beschrieben. Wir brauchen also 6 linear unabhängige Matrizen, wobei alle Matrizen an je verschiedenen Stellen eine 1 haben und sonst überall 0. Damit kann jede beliebige (2 x 3)-Matrix als Linearkombination der Basis geschrieben werden.

Also so stelle ich mir die ganze Sache jedenfalls vor.

Vielleicht hilft die Vorstellung, dass Matrizen formal das gleiche sind wie Vektoren, nur dass ihre Komponenten 2-dimensional, statt in einer Reihe angeordnet sind. Bezogen auf die Homomorphismen besteht die Basis also aus mn linear unabhängigen Abbildungen und nicht bloss aus einer.