Kurvendiskussion

[TheBiber]

Bei der Symmetrie gibt es an sich nur zwei wesentliche Fälle: Der Funktionsgraph ist symmetrisch zur x=0-Achse oder symmetrisch zum Ursprung. Im ersten Fall nennt man die Funktion gerade, im zweiten Fall ungerade. Formal sind sie folgendermassen definiert:

Gerade Funktion:
Ungerade Funktion:

Bei Polynomen gilt: Sind alle Potenzen gerade, so ist auch die Funktion gerade, sind alle Potenzen ungerade, dann ist die Funktion ebenfalls ungerade. Kommen beide Formen vor, ist keine Symmetrie gegeben.

Beispiele:

ist gerade, da

ist ungerade, weil

ist unsymmetrisch

Die typischsten Funktionen für Symmetrie sind die trigonometrischen Funktionen: Alle Sinusfunktionen sind ungerade und alle Cosinusfunktionen sind gerade.

Was vielleicht noch wichtig wäre für die Kurvendiskussion sind der maximale Definitionsbereich und das Verhalten der Funktion an den Grenzen. Für Polynome mag dies irrelevant sein, im Allgemeinen ist es aber schon wichtig. Konkret wird der maximale Definitionsbereich bestimmt, in dem man zunächst grundsätzlich von den reellen Zahlen ausgeht und danach Einschränkungen vornimmt. Diese sind praktisch immer von der Natur "Null im Nenner" oder "negative Wurzeln/Logarithmen". Ersteres checkt man ab, indem man den Nenner null setzt. Zweiteres, in dem man den Radikand bzw. das Argument grösser gleich bzw. grösser null setzt. Auflösen nach x ergibt dann den Bereich, der vom Definitionsbereich wegfllt.

Beispiel: . Da hier ein Nenner vorliegt, wird dieser null gesetzt , auflösen nach x ergibt , d.h. der maximale Definitionsbereich dieser Funktion ist die Menge aller reellen Zahlen ohne die Elemente 2 und -2, formal . Isolierte Definitionslücken nennt man Polstellen.

Beispiel 2: , hier müssen beide Argumente seperat überprüft werden: führt auf und führt auf , x muss also grösser als 1/3 und grösser als oder gleich 2 sein, insgesamt also mindestens 2: , ich weiss nicht wie exakt formal du das willst. Aber die Idee sollte klar sein.

Nun kommt noch die Sache mit den Grenzen: Im ersten Beispiel muss geprüft werden, wie die Funktion sich im Unendlichen verhält, sowohl gegen oben wie auch gegen unten:



Beim zweiten Beispiel, reicht es, unten mit 2 zu begrenzen:



(divergiert, hat also keinen Grenzwert)

Im ersten Beispiel müssen zusätzlich noch die beiden isolierten Polstellen überprüft werden:





Womit wir also senkrechte Asymptoten erhalten.

Das sollte vorerst reichen. Ganz streng genommen müsste man noch die Stetigkeit prüfen und ebenso, ob sich auch schiefe Asymptoten einstellen. Es gäbe sicher noch ein paar andere Dinge, die noch nicht erwähnt wurden, aber der maximale Definitionsbereich und das Verhalten an dessen Grenzen finde ich noch wichtig.