Ich versuche mal einen groben Gesamtüberblick zu geben. Kurvendiskussion ist allerdings mMn eines der großen und damit auch wichtigen Gebiete der Oberstufenmathematik (und demnach auch der weiterführenden Mathematik, der man auf der Uni begegnet).

Für eine Kurvendiskussion braucht man logischerweise eine Kurve, bzw. einen Graphen, welchen man im Normalfall durch eine Funktionsgleichung gegeben hat. Die einfachste Art von Funktionen bei denen man Kurvendiskussionen betreibt sind Polynome.
Ein Polynom ist eine Summe aus: a*X^n mit jeweils varriierenden as und ns. Quadratische Gleichungen sind demnach Polynome.
Nullstellen berechnen ist einfach das lösen der entsprechenden Gleichung. Funktionsgleichung gleich 0 setzen und nach X auflösen.

Wichtigstes Konstrukt in der Kurvendiskussion ist die Ableitung. Die Ableitung einer Funktion an der Stelle X ist die Steigung der Tangente am Graphen der Urpsrungsfunktion im Punkt X.

Mathematisch gibt es einige Grundregeln wie man beim ableiten einer Funktion vorgeht:
Bei einer Summe leitet man die Summanden seperat ab und bildet am Ende wieder die Summe.
(f + g)' = f' + g'
Bei Produkten ist das etwas komplizierter
(f*g)' = f'*g + f*g'
Wichtig ist noch die Qutiontenregel (spare ich mir, läßt sich aus der Produktregel ableiten oder nachschlagen) sowie die Kettenregel bei ineinander verschachtelten Funktionen, wobei hier gilt "innere Ableitung mal äußere Ableitung".
Polynome abzuleiten ist relativ einfach. Konstanten, also Summanden die nicht abzuleitende Variable (also X) enthalten, haben 0 als Ableitung.
X^n wird abgeleitet nach n*X^(n-1) entsprechende konstante Faktoren bleiben stehen.
3X^2 wird dann in der Ableitung bspw. zu 3*2X^1 also 6X.
X^3 wird zu 3X^2 etc..

Extremalstellen (Minima und Maxima) sind Punkte in denen die erste Ableitung der Funktion 0 ist und deren Wert in der 2. Ableitung ungleich 0 ist.
Wendepunkte sind in der zweiten Ableitung gleich 0 und in der dritten ungleich 0. Wendepunkte die in der ersten Ableitung 0 als Funktionswert haben sind Sattelpunkte.

Ich hoffe das klingt nicht allzu abstrakt/kompliziert.

Mal eine Beispielrechnung:
Gegeben ist f = X^3 - 4X + 1
Wir bilden zuerst die erste Ableitung:
f' = 3X^2 - 4
Und weil wir sie nachher noch brauchen auch die zweite Ableitung:
f'' = 6X
Zur Bestimmung der Extrema setzen wir die erste Ableitung gleich 0:
0 = 3X^2 - 4
Ergibt X = 2/Wurzel(3) und X = -2/Wurzel(3) als Kanidaten für die Extremstellen. Jetzt setzen wir beide Punkte in die zweite Ableitung ein:
f''(2/Wurzel(3)) = 12/Wurzel(3)
Da dieser Wert ungleich 0 ist, liegt hier eine Extremstelle vor. Da der Wert positiv ist, handelt es sich um ein Minimum. Am anderen Punkt befindet sich entsprechend ein Maximum (da der Wert der 2. Ableitung kleiner 0 ist).
Für die Berechnung des Wendepunktes setzen wir einfach die 2. Ableitung gleich 0, was nur 0 als Wendepunkt ergibt.

Was die Symetrie angeht muss ich allerdings passen. Mein Schulmathe liegt schon etwas zurück und an Symetrie im Bereich der Kurvendiskussion kann ich mich nicht entsinnen.