Wie Lynch schon sagte, hat die Slimline einen angebauten Ethernet-Adapter, bei den alten Modellen bräuchtest du dafür den seperat verkauften Netzwerkadapter.

Am einfachsten ist es, die PS2 dann über ein normales Ethernet-Kabel einfach an einen Router anzustöpseln. Bei dem Netzwerkadapter lag zudem auch noch eine Network Access Disc dabei, die für dich die Konfiguration übernimmt und das Zeugs mit Central Station regelt (dass aber afair auch nicht alle Spiele mit Online-Funktion nutzen).
Wie genau das bei der Slim funktioniert, weiß ich nicht, allerdings lässt es sich auch manuell konfigurieren, dafür bräuchtest du allerdings eine umgebaute PS2, um die Datei auf der Memory Card zu erstellen. Bzw. bin ich mir nicht mal sicher, welche und ob die Spiele überhaupt nach der Konfigurationsdatei schauen. Diese befindet sich normalerweise auf der ersten Memory Card unter (bei PAL-Konsolen) BEDATA-SYSTEM/IPCONFIG.DAT, die ein relativ einfaches Schema hat:
Code: 
IP: $ip_der_ps2
Subnet: 255.255.255.0
Gateway: $ip_des_routers
Wenn du eine umgebaute PS2 hast, müsstest du den Chip auch deaktivieren, da du sonst an der DNAS-Authentifizierung hängen bleibst ... wobei ich auch wieder nicht sicher bin, ob das alle Spiele implementiert haben.

Aber das ist halt nur unter Vorbehalt, habe die Netzwerkfähigkeiten der PS2 nie wirklich für Spiele genutzt ^^"
Such besser mal bei Google, da wirst du wahrscheinlich eher was finden.