Ich würde das genau so wie Thomas sehen, ehrlich gesagt. Ich selbst würde vermutlich die Exec-Instanz globalisieren, da alles andere irgendwie etwas schmutzig ist. Teile der Exec-Klasse in die DB-Klasse zu legen, ist natürlich sinnvoll... wenn es Sinn macht. (grandiose Bedingung >_<)
Wenn allerdings die Methode in die Exec Klasse gehört, sollte sie da auch bleiben. Das letzte, was ich wollen würde, wäre eine zweite Instanz der Exec Klasse im Scope der DB-Methode, weil das doppelter Speicherverbrauch wäre und die Instanzvariablen unterschiedliche Werte haben könnten (was natürlich u.U. nichts macht, wenn du eh keine verwendest).

Aber ich bin ein OOP-Noob, warte lieber noch, bis jemand Kompetenteres antwortet.

PS: Noch ein Grund für die Globalisierung: Was willst du denn machen, wenn du aus einer Funktion heraus die DB ansteuern möchtest? Da würdest du vermutlich gar nicht drüber nachdenken und entweder $GLOBALS['DB'] oder global $DB benutzen, oder?