Du hast zwar formal das richtige getan, trotzdem ist die Aussage so falsch, man setzt nämlich die erste Ableitung gleich null. Die zweite Ableitung ist dann wie schon erwähnt zum überprüfen da, ob ein lokales Maximum, Minimum oder ein Sattelpunkt vorliegt.Zitat von Lord of Suffering
Das liegt an der doch eher dürftigen Didaktik im Mathematikunterricht. Kurvendiskussion bedeutet nämlich lediglich, dass man eine Funktion auf deren Eigenschaften untersucht, eben die lokalen Extremalstellen oder die Nullstellen zu suchen. Anwenden kann man dies dann in den unterschiedlichsten Bereichen, beispielsweise überall dort wo etwas maximales gesucht wird. Und das Maximieren des Volumens einer Schachtel gehört ebenso dazu wie das Optimieren von Produktionsfunktionen in der Wirtschaftstheorie oder wenn in der Physik der zeitliche Umkehrpunkt einer Geschwindigkeit gesucht ist (Ableitung der Geschwindigkeit = Beschleunigung), oder wenn man die Leistung einer elektrotechnischen Schaltung maximieren will durch Wahl eines geeigneten Widerstandes, usw. Kurvendiskussion kommt so ziemlich in allen formaleren Wissenschaften (Naturwissenschaften, Wirtschaft, Ingenieurwesen) vor und ist deshalb ein Kernthema der Schulmathematik. Man muss sich einfach bewusst sein, wozu man sie verwenden kann und dies wird in der Schule leider kaum bis gar nicht wirklich erklärt. Am einfachsten stellt man sich Mathematik als ein abstraktes Werkzeug vor, dann wird man weniger Probleme haben, sie auf ein beliebiges Gebiet übertragen zu können.
Scheitelpunkt nennt man den Extrempunkt einer Parabel, also einer Funktion zweiten Grades oder quadratischen Funktion.. Deine ursprüngliche Funktion ist aber eine Funktion dritten Grades (d.h. es kommt maximal ein hoch drei vor), und deshalb keine Parabel, weshalb die Suche nach einem Scheitelpunkt hier eher irreführend ist.
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