Dat Ding bezeichnet alle Permutationen einer Reihe im Prinzip. Wie du sicher weißt, gilt für eine 2x2-Matrix detM = a*d - b*c
Dat b*c ist in einer ungeraden Permutation (sig(o) = -1) und daher wirds negativ gezählt. Ist ein bisserl schwer zu erklären, was man jetzt permutiert, im Prinzip geht man alle Permutationen durch und summiert die Produkte mal dem Signum auf.
Wenn du unbedingt willst, schreib ichs dir aus einem Skript raus.

Aber wie Biber sagt, kein Schwein rechnet noch so. Das ist im Prinzip die Definition von Determinanten, bzw man befasst sich theoretisch damit, wenns in die Praxis geht, macht man aber Gaussentwicklung zur Diagonalform und berechnet in dieser einfach das Spurprodukt.

Für entsprechend konstruierte Formeln (kenn ja eure Übungsaufgabe nicht) könnte aber ein Sonderfall eintreten in welchem die Berechnung auf eben diese Art schneller geht. Zumal Gaussentwicklung ein Algorithmus ist und keine Formel, was vielen nicht so recht schmeckt ^^