Frage zur Leibnizformel für Determinanten

[TheBiber]

Wozu brauchst du die Leibnizformel? Es gibt deutlich einfachere Methoden, um Determinanten zu berechnen. Für 3x3-Matrizen die Regel von Sarrus und für höhere kann der Gauss-Algorithmus angewandt werden. Für ein grundsätzliches Verständnis der Determinante bevorzuge ich die Methode der Entwicklung nach Zeilen bzw. Spalten.

Ich selbst werde aus der Formel auch nicht wirklich schlau, vielleicht auch deshalb, weil ich Elemente der diskreten Mathematik, und dazu gehören auch Permutationen, einfach verabscheue. Von mir darfst du auf diesem Gebiet deshalb vorerst nicht viel erwarten.

Aber ich habe einen Link gefunden, wo du vielleicht Antworten auf deine Frage finden wirst: http://www.matheraum.de/read?t=90542...d6e149fc409b17

[noRkia]

naja es hilft etwas aber scheint tatsächlich äussert kompliziert zu werden wenn die matrizen etwas grösser werden ;/

ich will es nur verstehen um es zu verstehen.muss irgendeinen sinn haben.

in den übungsaufgaben für diese woche soll man die determinante einer matrix berechnen die nur durch ne allgemeine formel gegeben is und da dachte ich mann könnte es so vieleicht am ehesten machen.

[Dhan]

Dat Ding bezeichnet alle Permutationen einer Reihe im Prinzip. Wie du sicher weißt, gilt für eine 2x2-Matrix detM = a*d - b*c
Dat b*c ist in einer ungeraden Permutation (sig(o) = -1) und daher wirds negativ gezählt. Ist ein bisserl schwer zu erklären, was man jetzt permutiert, im Prinzip geht man alle Permutationen durch und summiert die Produkte mal dem Signum auf.
Wenn du unbedingt willst, schreib ichs dir aus einem Skript raus.

Aber wie Biber sagt, kein Schwein rechnet noch so. Das ist im Prinzip die Definition von Determinanten, bzw man befasst sich theoretisch damit, wenns in die Praxis geht, macht man aber Gaussentwicklung zur Diagonalform und berechnet in dieser einfach das Spurprodukt.

Für entsprechend konstruierte Formeln (kenn ja eure Übungsaufgabe nicht) könnte aber ein Sonderfall eintreten in welchem die Berechnung auf eben diese Art schneller geht. Zumal Gaussentwicklung ein Algorithmus ist und keine Formel, was vielen nicht so recht schmeckt ^^

[TheBiber]

Ok, ich hab den Sinn endlich raus. Wenn man weiss, wie Permutationen formal definiert sind, ist es schon ein ganzes Stück einfacher. Nehmen wir als Beispiel gleich eine allgemeine nxn-Matrix:



Nun wendet man die Leibniz-Formel darauf an:



Dazu muss man halt alle Zeichen sukzessive klären: Man summiert über die Menge aller Permutationen von n Elementen und aus der Kombinatorik weiss man, dass es für n Elemente n! Permutationen gibt. Man hat also insgesamt n! Summanden.

Dann kommt das Vorzeichen der Permutation. Dieses ist negativ, wenn die Permutation ungerade ist. Eine Permutation ist ja nichts anderes als eine Abbildung des geordneten n-Tupels auf ein neues n-Tupel , oder anders ausgedrückt, man vertauscht einfach mal beliebig Elemente. Wesentlich ist, dass eine Permutation einer Anzahl Vertauschungen zweier beliebiger Elemente entspricht und diese Anzahl ist eindeutig entweder gerade oder ungerade. Dies definiert das Vorzeichen einer Permutation und damit auch eines Summanden hier.

Nun wird das Produkt über alle n Elemente der Matrix berechnet. Die Frage ist nun, über welche Elemente. Die Faktoren haben die Indexe , d.h. man nimmt ein Element aus der i-ten Zeile. Die Spalte wird dann durch die jeweilige Permutation gewählt, wenn z.B. die Permutation lautet, dann wählt man für den ersten Faktor das Element der 1. Zeile und 2. Spalte, für den zweiten Faktor das Element der 2. Zeile und 1. Spalte, für den dritten Faktor das Element der 3. Zeile und n-ten Spalte, für den vierten Faktor das Element der 4. Zeile und (n-7)-ten Spalte, und so weiter. Für den letzten Faktor wählt man dann das Element der n-ten Zeile und der 5. Spalte in diesem Beispiel. Das Produkt sieht in diesem Falle also irgendwie so aus:

Demnach hätten wir also den Faktor für obige Permutation gefunden. Nehmen wir einfach so mal an, die obige Permutation wäre ungerade (das darf ich, da ich sowieso keine näheren Informationen zur Permutation vorgegeben habe), dann wird sie noch mit einem Faktor (-1) multipliziert. Nun macht man dasselbe Vorgehen für alle möglichen Permutationen und summiert sie auf.

Das sieht dann für meine extremst konstruierten Beispiele so aus:



Ich hoffe, ich konnte dir das System konkret näherbringen. Selbstgemachte Beispiele haben den Vorteil, weniger fehleranfällig zu sein.
Wenn du willst, kann ich dir aber auch ein ganz konkretes Zahlenbeispiel vorrechnen. Oder allgemeine Matrizen mit einem festen n.

[noRkia]

ich hatte es schon bei meinem post verstanden aber es wohl nicht reingeschrieben

allerdings ist mir jetzt auch klar wieso die determinante einer matrix gleich der der transponierten ist.das sind ja genau die selben permutationen denn es ist ja egal ob ich 2 und 3 vertausche oder 3 und 2.deshalb auch das selbe vorzeichen weil die anzahl permutationen pro tupel gleich ist für die transponierte und deshalb auch die summe

so ähnlich auch die einheitsmatrix oder ein dreicks matrix,da in jedem tupel 1 null vorkommt da das ja immer die permutationen sind ist das einzige tupel ungleich 0 das das die diagonalen komponennten multipliziert und die sind natürlich in diesen fällen 1.
schön das wir mal drüber geredet haben.

aber trotzdem danke denn ich denke so kann ich besser anderen erklären.

...ist aber schon ein übles ding,unglaublich wie der kerl da drauf gekommen ist
XD

[Dhan]

Das is noch der harmlosere Krams.
Irgendwann fragt man sich nicht mehr, WIE jemand auf was gekommen ist sondern WARUM ^^ (höhere Algebra ist erst so richtig widerlich)

[TheBiber]

Oder man fragt sich gar nicht mehr, woher das Zeugs kommt und wendet es einfach an. Ingenieurwesen rockt.