Frage zur Leibnizformel für Determinanten

**TheBiber** · 25.05.2008 19:34

Ok, ich hab den Sinn endlich raus. Wenn man weiss, wie Permutationen formal definiert sind, ist es schon ein ganzes Stück einfacher. Nehmen wir als Beispiel gleich eine allgemeine nxn-Matrix:

$A:=\left(\begin{matrix}a_{11} & \dots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn}\end{matrix}\right)$

Nun wendet man die Leibniz-Formel darauf an:

$\det A = \sum_{\sigma\in S_n}\left(\operator{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}\right)$

Dazu muss man halt alle Zeichen sukzessive klären: Man summiert über die Menge aller Permutationen von n Elementen und aus der Kombinatorik weiss man, dass es für n Elemente n! Permutationen gibt. Man hat also insgesamt n! Summanden.

Dann kommt das Vorzeichen der Permutation. Dieses ist negativ, wenn die Permutation ungerade ist. Eine Permutation ist ja nichts anderes als eine Abbildung des geordneten n-Tupels $(1,\ldots,n)$ auf ein neues n-Tupel $(\sigma(1),\ldots,\sigma(n))$ , oder anders ausgedrückt, man vertauscht einfach mal beliebig Elemente. Wesentlich ist, dass eine Permutation einer Anzahl Vertauschungen zweier beliebiger Elemente entspricht und diese Anzahl ist eindeutig entweder gerade oder ungerade. Dies definiert das Vorzeichen einer Permutation und damit auch eines Summanden hier.

Nun wird das Produkt über alle n Elemente der Matrix berechnet. Die Frage ist nun, über welche Elemente. Die Faktoren haben die Indexe $i,\sigma(i)$ , d.h. man nimmt ein Element aus der i-ten Zeile. Die Spalte wird dann durch die jeweilige Permutation gewählt, wenn z.B. die Permutation $(1,2,3,4,\ldots,n)\rightarrow (2,1,n,n-7,\ldots,5)$ lautet, dann wählt man für den ersten Faktor das Element der 1. Zeile und 2. Spalte, für den zweiten Faktor das Element der 2. Zeile und 1. Spalte, für den dritten Faktor das Element der 3. Zeile und n-ten Spalte, für den vierten Faktor das Element der 4. Zeile und (n-7)-ten Spalte, und so weiter. Für den letzten Faktor wählt man dann das Element der n-ten Zeile und der 5. Spalte in diesem Beispiel. Das Produkt sieht in diesem Falle also irgendwie so aus: $a_{1,2}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3,n}\cdot a_{4,n-7}\cdot \ldots \cdot a_{n,5}$

Demnach hätten wir also den Faktor für obige Permutation gefunden. Nehmen wir einfach so mal an, die obige Permutation wäre ungerade (das darf ich, da ich sowieso keine näheren Informationen zur Permutation vorgegeben habe), dann wird sie noch mit einem Faktor (-1) multipliziert. Nun macht man dasselbe Vorgehen für alle möglichen Permutationen und summiert sie auf.

Das sieht dann für meine extremst konstruierten Beispiele so aus:

$\det A = \underbrace{a_{11}\cdot\ldots\cdot{a_{nn}+\dots -a_{1,2}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3,n}\cdot a_{4,n-7}\cdot \ldots \cdot a_{n,5} +\dots+ a_{1n}\cdot\ldots\cdot a_{n1}}}_{n! \text{ Summanden}}$

Ich hoffe, ich konnte dir das System konkret näherbringen. Selbstgemachte Beispiele haben den Vorteil, weniger fehleranfällig zu sein.

Wenn du willst, kann ich dir aber auch ein ganz konkretes Zahlenbeispiel vorrechnen. Oder allgemeine Matrizen mit einem festen n.

Thema: Frage zur Leibnizformel für Determinanten

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