Physik: Enfallswinkel gleich Ausfallswinkel

**TheBiber** · 13.05.2008 20:25

Zitat von Drakes

Glaube nicht, denn die Rotationsmatrix für 2D ist ja eigentlich:
$\begin{bmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{bmatrix}$
Mein Beweiss ist, dass man da ein gleichschenkliges Dreieck konstruieren kann.

Deine Formel kann nicht stimmen: Wenn der Einfallswinkel 0° beträgt, dann müsste v = v' gelten, nach deiner Formel ist dann aber v = -v'. Dies hingegen müsste gerade bei 90° gelten, nach dir erhält man hierbei allerdings einen Ausfalsswinkel von 30°, wenn man es aufzeichnet.

Also, ich habs endgültig raus, mit der Rotationsmatrix funktioniert das ganz einfach, ich wende es gleich auf das erste Beispiel an mit $\vec v_1=\left(\begin{array}0 \\ -1 \end{array}\right)$ (y-Achse wird nach oben positiv gezählt, deshalb minus 1) und $\vec p = \left(\begin{array}5 \\ -10 \end{array}\right)$ (es ist wichtig, dass die Vektoren als Spaltenvektoren geschrieben werden, dazu später mehr):

1. Den Einfallswinkel berechnen: $\cos(\alpha)=\frac{\vec v_1\cdot\vec p}{|\vec v_1||\vec p|}$

Beispiel: $\cos(\alpha)=\frac{0\cdot 5+(-1)(-10)}{\sqrt{0^2+(-1)^2}\sqrt{5^2+(-10)^2}}=0.8944$ , woraus folgt $\alpha = 26.56^\circ$ .

2. Da der Vektor um den doppelten Winkel gedreht werden muss, wird dieser verdoppelt: $\beta = 2\alpha$

Beispiel: $\beta = 53.12^\circ$

3. Die Rotationsmatrix aufstellen: $\begin{bmatrix} \cos(\beta) & -\sin(\beta) \\ \sin(\beta) & \cos(\beta) \end{bmatrix}$

Beispiel: $\begin{bmatrix} 0.6 & -0.8 \\ 0.8 & 0.6 \end{bmatrix}$

4. Der gesuchte Vektor berechnet sich dann einfach durch Linksmultiplikation mit der Rotationsmatrix: $\vec v_2 = \begin{bmatrix} \cos(\beta) & -\sin(\beta) \\ \sin(\beta) & \cos(\beta) \end{bmatrix}\cdot\vec v_1$

Beispiel: $\vec v_2 = \begin{bmatrix} 0.6 & -0.8 \\ 0.8 & 0.6 \end{bmatrix}\cdot\left[\begin{array}0 \\ -1 \end{array}\right] = \left[\begin{array} 0.6\cdot 0 -0.8\cdot(-1) \\ 0.8\cdot 0 +0.6\cdot(-1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}0.8 \\ -0.6\end{array}\right]$

Achtung: Die Vektoren müssen zwingend als Spaltenvektoren geschrieben werden, damit die Matrixmultiplikation richtig funktioniert!
Die Multiplikation einer 2x2-Matrix mit einem 2-dimensionalen Spaltenvektor ist wiederum ein Vektor und so definiert: $\begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix} \cdot \left[\begin{array}x\\y\end{array}\right] = \left[\begin{array}a\cdot x+b\cdot y \\ c\cdot x+d\cdot y\end{array}\right]$

Die Methode wird zwar nur dann funktionieren, wenn $\vec p$ von $\vec v_1$ aus gesehen rechts näher ist als links, das müsste man vorher also noch abklären. Falls $\vec p$ von $\vec v_1$ aus gesehen links näher ist, kann man einfach das Vorzeichen von $\beta$ umkehren, d.h. ein minus davor hängen, dann sollte es wieder stimmen.

So, ich hoffe, geholfen zu haben.

Thema: Physik: Enfallswinkel gleich Ausfallswinkel

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