Physik: Enfallswinkel gleich Ausfallswinkel

**Dhan** · 13.05.2008 16:03

Die einfachste Lösung ist das natürliche Skalarprodukt:

Seien v, w Vektoren des R², x das natürliche Skalarprodukt auf R² (Summe der komponentenweisen Multiplikation, (a,b)x(c,d) = a*c + b*d) dann gilt:
v x w = |v|*|w|*cos(v,w)
(tatsächlich definiert man in abstrakteren (Prä-Hilbert-)Räumen den Winkel über das Skalarprodukt)

du kennst |v| und |w| (|(a,b)| = sqrt(a² + b²)), dadurch bekommst du den Cosinus raus und somit den Winkel zwischen der Fläche und dem einfallenden Strahl, rechnest darüber aus, wie der Winkel zum Lot ist (90 - Winkel zwischen Fläche und Strahl) und berechnest dadurch den Ausfallswinkel zur Fläche, bestimmst einen Vektor, der diesen hat (das is ein wenig kompliziert, müsstest du aber mit Skalarprodukt und umstellen hinbekommen), normierst ihn und nimmst ihn mit dem Betrag des einfallenden Strahls mal damit er diesselbe "Geschwindigkeit" hat, fertig

**Teflo** · 13.05.2008 16:30

O__O Oha...
Naja, nicht ganz oha, denn dead_orc hat mich schon im Chat darauf hingewiesen, jedoch hab ich das nicht hundertprozentig verstanden @_@
Und jetzt leider immer noch nicht. Deswegen wär es echt Supernett, wenn du (oder jemand anderes) es mir an einem Beispiel vorrechnen könntest! =D

€dit:
Hm...k, jetzt konnt ich in Erfahrung bringen, was ungefähr Vektoren sind. Dennoch hab ich nicht ganz verstanden, was v und w sind, von R² ganz zu schweigen o.o°
Aber ich denk mal mit sqrt ist die Quadratwurzel gemeint?

**TheBiber** · 13.05.2008 17:23

@Dhan: Die mathematische Präzision in Ehren, didaktisch und anwendbar sind die Informationen aber nicht gerade. BTW, der Betrag der Geschwindigkeit wird in der Physik als Schnelligkeit bezeichnet.

Also überlassen wir das mal einem künftigen Ingenieur.

Zum Problem: Du hast zuerst eine Geschwindigkeit $\vec v_1 = (v_{x1},v_{y1})$ gegeben und du hast den Verbindungsvektor von $P_1$ und $P_2$ gegeben als $\vec p = (p_{x2}-p_{x1},p_{y2}-p_{y1})=(p_x,p_y)$ . Du suchst nun den Geschwindigkeitsektor $\vec v_2=(v_{x2},v_{y2})$ , der die Eigenschaft haben soll, dass der Einfallswinkel dem Ausfallswinkel entspricht.

Der Winkel lässt sich über die Definition des Skalarproduktes einfach berechnen: $\cos(\alpha)=\frac{\vec v_1\cdot\vec p}{|\vec v_1|\cdot|\vec p|} = \frac{v_{x1}p_x+v_{y1}p_y}{\sqrt{(v_{x1}^2+v_{y1}^2)(p_x^2+p_y^2)}}$

Um das Problem zu lösen, nimmst du eine Senkrechte zu $\vec p$ , definiert als $\vec p'=(-p_y,p_x)=(p_x',p_y')$ und berechnest $\vec v_2$ über den Winkel zum Lot $\beta = 90 - \alpha = \frac{\pi}{2}-\alpha$ (je nachdem, ob du Grad- oder Bogenmass verwendest). Anschliessend kannst du den neuen Vektor wieder über das Skalarprodukt bestimmen: $\cos(\beta)=v_{x2}'p_x'+v_{y2}'p_y'$ . Du wählst irgendeine Zahl für $v_{x2}'$ und bestimmst über die Formel das $v_{y2}'$ , nun sollte die Richtung für $\vec v_2'$ stimmen. Dieser Vektor muss nun noch auf die richtige Schnelligkeit normiert werden, dies geht einfach mit der Formel: $\vec v_2=\frac{\vec v_2'}{\sqrt{v_{x2}'^2+v_{y2}'^2}}\cdot \sqrt{v_{x1}^2+v_{y1}^2}$

Ein Beispiel mach ich später vielleicht. Ausserdem könnte ich schwören, es gäbe noch eine einfachere Methode, aber mir kommt gerade nichts mehr in den Sinn.

EDIT: Du weisst nicht was Vektoren sind? Weia.

Na dann: Ein Vektor ist vereinfacht gesagt eine Anordnung von Zahlen, um Punkte oder Pfeile zu beschreiben, z.B. $\vec x=(x_1,x_2)=(5,-3/2)$ ist ein Vektor. Die $x_1=5$ und $x_2=-3/2$ werden als Komponenten des Vektors bezeichnet. Sie wiederspiegeln hier die Koordinaten der Puntke bzw. Pfeilen. Man kann dann die Komponenten des Vektors und den Zwischenwinkel von Vektoren durch das Skalarprodukt verknüpfen, welches definiert ist als: $\vec x \cdot \vec y = x_1y_1+x_2y_2$ . Und ein Mathematiker/Informatiker wie Dhan (

) könnte dir dann beweisen, dass $\vec x \cdot \vec y = |\vec x||\vec y|\cos(\alpha)$ gilt, wobei alpha der Zwischenwinkel ist und der Betrag eines Vektors über den Satz des Pythagoras definiert ist als $|\vec x| = \sqrt{x_1^2+x_2^2}$ . Soviel zum Thema Vektoren, zusätzlich lassen sie sich auf beliebig viele Dimensionen erweitern, das Konzept nennt man dann Vektorräume, wie $\mathbb R^2$ (2-dimensionale Ebene) auch einer ist, aber das geht hier wohl zu weit.

EDIT2: Ich wollte eigentlich dein Beispiel ausrechnen, doch irgendetwas stimmt noch nicht. Die letzte Gleichung hat unendlich viele Lösungen, was eigentlich gar nicht sein darf. Irgendwo ist noch der Wurm drin, nur finde ich ihn gerade nicht. ^^

**Teflo** · 13.05.2008 17:48

Mhm, interessant! Übrigens danke für die schnellen Antworten. Trotzdem warte ich noch auf die Beispielaufgabe, um sicher zu gehn!

**Drakes** · 13.05.2008 18:13

V' = 2*Q - V
Q = ( (P2 - P1) / Länge von (P2 - P1) ) * x
x = Länge von V * sin(alpha)
alpha über Skalarprodukt berechnen. So hätte ich es gemacht.

**TheBiber** · 13.05.2008 18:26

Zitat von Drakes

V' = 2*Q - V
Q = ( (P2 - P1) / Länge von (P2 - P1) ) * x
x = Länge von V * sin(alpha)
alpha über Skalarprodukt berechnen. So hätte ich es gemacht.

Also zu deutsch $\vec v' = 2\cdot\frac{\vec p}{|\vec p|}\cdot|\vec v|\cdot\sin(\alpha)-\vec v$ ?

Jetzt wäre nur noch eine Begründung oder ein Beweis angebracht. Ich habe herausgefunden, dass man den ersten Vektor lediglich um 2 alpha drehen muss, um das Ergebnis zu erhalten, was deutlich einfacher ist als die erste Methode. Drehungen werden mit Rotationsmatrizen modelliert, möglicherweise resultiert dann genau deine Lösung. Aber ich überprüfe das später, muss Essen.

**Drakes** · 13.05.2008 20:32

Zitat von TheBiber

Also zu deutsch $\vec v' = 2\cdot\frac{\vec p}{|\vec p|}\cdot|\vec v|\cdot\sin(\alpha)-\vec v$ ?

Jetzt wäre nur noch eine Begründung oder ein Beweis angebracht. Ich habe herausgefunden, dass man den ersten Vektor lediglich um 2 alpha drehen muss, um das Ergebnis zu erhalten, was deutlich einfacher ist als die erste Methode. Drehungen werden mit Rotationsmatrizen modelliert, möglicherweise resultiert dann genau deine Lösung. Aber ich überprüfe das später, muss Essen.

Glaube nicht, denn die Rotationsmatrix für 2D ist ja eigentlich:
$\begin{bmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{bmatrix}$
Mein Beweiss ist, dass man da ein gleichschenkliges Dreieck konstruieren kann.

**TheBiber** · 13.05.2008 21:25

Zitat von Drakes

Glaube nicht, denn die Rotationsmatrix für 2D ist ja eigentlich:
$\begin{bmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{bmatrix}$
Mein Beweiss ist, dass man da ein gleichschenkliges Dreieck konstruieren kann.

Deine Formel kann nicht stimmen: Wenn der Einfallswinkel 0° beträgt, dann müsste v = v' gelten, nach deiner Formel ist dann aber v = -v'. Dies hingegen müsste gerade bei 90° gelten, nach dir erhält man hierbei allerdings einen Ausfalsswinkel von 30°, wenn man es aufzeichnet.

Also, ich habs endgültig raus, mit der Rotationsmatrix funktioniert das ganz einfach, ich wende es gleich auf das erste Beispiel an mit $\vec v_1=\left(\begin{array}0 \\ -1 \end{array}\right)$ (y-Achse wird nach oben positiv gezählt, deshalb minus 1) und $\vec p = \left(\begin{array}5 \\ -10 \end{array}\right)$ (es ist wichtig, dass die Vektoren als Spaltenvektoren geschrieben werden, dazu später mehr):

1. Den Einfallswinkel berechnen: $\cos(\alpha)=\frac{\vec v_1\cdot\vec p}{|\vec v_1||\vec p|}$

Beispiel: $\cos(\alpha)=\frac{0\cdot 5+(-1)(-10)}{\sqrt{0^2+(-1)^2}\sqrt{5^2+(-10)^2}}=0.8944$ , woraus folgt $\alpha = 26.56^\circ$ .

2. Da der Vektor um den doppelten Winkel gedreht werden muss, wird dieser verdoppelt: $\beta = 2\alpha$

Beispiel: $\beta = 53.12^\circ$

3. Die Rotationsmatrix aufstellen: $\begin{bmatrix} \cos(\beta) & -\sin(\beta) \\ \sin(\beta) & \cos(\beta) \end{bmatrix}$

Beispiel: $\begin{bmatrix} 0.6 & -0.8 \\ 0.8 & 0.6 \end{bmatrix}$

4. Der gesuchte Vektor berechnet sich dann einfach durch Linksmultiplikation mit der Rotationsmatrix: $\vec v_2 = \begin{bmatrix} \cos(\beta) & -\sin(\beta) \\ \sin(\beta) & \cos(\beta) \end{bmatrix}\cdot\vec v_1$

Beispiel: $\vec v_2 = \begin{bmatrix} 0.6 & -0.8 \\ 0.8 & 0.6 \end{bmatrix}\cdot\left[\begin{array}0 \\ -1 \end{array}\right] = \left[\begin{array} 0.6\cdot 0 -0.8\cdot(-1) \\ 0.8\cdot 0 +0.6\cdot(-1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}0.8 \\ -0.6\end{array}\right]$

Achtung: Die Vektoren müssen zwingend als Spaltenvektoren geschrieben werden, damit die Matrixmultiplikation richtig funktioniert!
Die Multiplikation einer 2x2-Matrix mit einem 2-dimensionalen Spaltenvektor ist wiederum ein Vektor und so definiert: $\begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix} \cdot \left[\begin{array}x\\y\end{array}\right] = \left[\begin{array}a\cdot x+b\cdot y \\ c\cdot x+d\cdot y\end{array}\right]$

Die Methode wird zwar nur dann funktionieren, wenn $\vec p$ von $\vec v_1$ aus gesehen rechts näher ist als links, das müsste man vorher also noch abklären. Falls $\vec p$ von $\vec v_1$ aus gesehen links näher ist, kann man einfach das Vorzeichen von $\beta$ umkehren, d.h. ein minus davor hängen, dann sollte es wieder stimmen.

So, ich hoffe, geholfen zu haben.

**Drakes** · 13.05.2008 22:11

Hmm... So wie ich es gedacht habe gibt $\vec V + \vec V' = 2 * \vec Q$ Dann würde $\vec V' = 2 * \vec Q - \vec V$ sein. Wo liegt mein Fehler?

**TheBiber** · 13.05.2008 22:33

Zitat von Drakes

Hmm... So wie ich es gedacht habe gibt $\vec V + \vec V' = 2 * \vec Q$ Dann würde $\vec V' = 2 * \vec Q - \vec V$ sein. Wo liegt mein Fehler?

Nicht in dieser Gleichung.

Deine beiden anderen Gleichungen besagen:

$\vec Q = \frac{\vec p}{|\vec p|}\cdot x$

Da Q die Richtung von p hat, stimmt sicher die Richtung, also liegts wohl am Betrag.

$x = |\vec v|\cdot\sin(\alpha)$

Hier ist der Haken: Wenn du das Dreieck zeichnest, dann hast du für den Winkel die Ankathete und die Hypothenuse gegeben. Durch Verwendung des Cosinus erhält man tatsächlich dasselbe Ergebnis wie ich.

Also $\vec v' = 2\cdot\frac{\vec p}{|\vec p|}\cdot|\vec v|\cdot\cos(\alpha)-\vec v$ funktioniert ebenso wie meine Methode, insbesondere auch für die Gegenrichtung. Und einfacher ist sie obendrein auch noch. Für 90° erhält man dann v'=-v, wie es sein sollte und für 0° erhält man v'=2v-v = v, was ebenso stimmt.

Irgendwie gewöhnt man es sich im Alter einfach ab, auf einfache Art die Lösung zu suchen.

**nudelsalat** · 13.05.2008 23:19

Hab ich irgendwann mal im Internet gefunden und ich verwende die Formel für Reflexionen in einem Ray Tracer, stimmen tut sie also. Zumindest für Strahlen.

c1 = -dot(N, V);
Vr = V + (N*c1*2);

Mit Tex kenn ich mich leider nicht aus, daher diese bescheidene Angabe.
dot(a, b) bedeutet einfach das Punktprodukt von a und b.
N ist der Normalenvektor der Wand/Geraden g, an der der Strahl abprallt.
V ist der Richtungsvektor der Kugel in Richtung Wand.
Sowohl V als auch N sind Richtungsvektoren, müssen also eine Länge von 1 haben.
Vr ist der von der Wand im richtigen Winkel ausgehende Richtungsvektor.

**Teflo** · 15.05.2008 17:01

@TheBiber: Ah, sehr gut! Danke!

Hab's grad mit einem Idealfall (Ball fällt senkrecht auf 45° Fläche) nachgerechnet und es funktioniert!

So, jetzt muss ich das nur noch in Code umwandeln...

Edit: Hab noch ein schönes Problemchen

Ich muss kontrollieren, ob ein bestimmter Punkt zwischen zwei anderen Punkten ist! Leider weiß ich keinen Begriff, mit dem man danach googlen könnt :/
Naja, hoffe, jemand kann mir weiterhelfen!

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