Frage zu Mathe

**TheBiber** · 25.04.2008 23:29

Tricky, aber machbar.

Folgender Ansatz $f(x) = a\cdot g(x) + b\cdot h(x) +c\cdot i(x)$

führt auf

$f(0) = a\cdot g(0) + b\cdot h(0) +c\cdot i(0) = a$

$f(1) = a\cdot g(1) + b\cdot h(1) +c\cdot i(1) = b$

$f(2) = a\cdot g(2) + b\cdot h(2) +c\cdot i(2) = c$

und mit Koeffizientenvergleich ergibt sich

$g(0) = 1, g(1) = 0, g(2) = 0$

$h(0) = 0, h(1) = 1, h(2) = 0$

$i(0) = 0, i(1) = 0, i(2) = 1$

Ich suche also Funktionen, die durch 3 verschiedene Punkte gehen, die nicht auf einer Geraden liegen. Eine solche Eigenschaft besitzen beispielsweise Parabeln, also nehm ich für den Ansatz quadratische Funktionen:

$g(x) = g_1 x^2+g_2 x +g_3$

$g(0) = g_3 =^! 1 \Rightarrow g_3 = 1$

$g(1) = g_1 + g_2 + 1 =^! 0$

$g(2) = 4g_1 + 2g_2 + 1 =^! 0$

$\Rightarrow g_1 = \frac{1}{2}, g_2 = -\frac{3}{2} \Rightarrow g(x) = \frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x+1$

Analoges Vorgehen für h und i ergibt

$h(x) = -x^2+2x, i(x) = \frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x$

Die gesuchte Funktion ist dann schliesslich

$f(x) = a\cdot(\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x+1) + b\cdot(-x^2+2x) + c\cdot(\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x)$

Und durch Einsetzen von x = {0,1,2} zeigt sich, dass die Bedingungen erfüllt sind. Eigentlich ne nette Aufgabe.

Zitat von noRkia

kann man ausserdem aus der anzahl elemente in den mengen folgern wieviele lösungen es für welchen fall gibt ?

Vielleicht. Aber ich bin kein Mathematiker, sowas interessiert mich nicht. ^^

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