[Mathe]Quadtratische Funktionen

[Drakes]

Wenn du zu einem y das x suchen musst, hast du eine quadratische Gleichung. Gehen wir nun davon aus, dass die quadratische Funktion die Form
y=a*x^2 + b*x + c
hat. a, b und c sind beliebige Zahlen. Eine solche quadratisch Gleichung wäre z.B.
y= 2*x^2 - 4*x + 6 // pass auf, b ist hier nicht 4 sondern -4
Jetzt, wenn du ein y einsetzt, musst du es subtrahieren, damit links von der Gleichung 0 steht, hier
0 = 2*x^2 + (-4)*x + 6 -y // hier ist c = 6 -y
Die Anzahl der x die es nun gibt, ist von der Diskriminanten abhängig,
die Diskriminante ist folgendermassen definiert: D = b^2 - 4*a*c
wenn D>0 -> 2 Lösungen für x
wenn D=0 -> 1 Lösung für x (-> y = Höhe des Scheitelpunktes)
wenn D<0 -> es gibt kein passendes x (in deinem Beispiel, unter der Kurve, also wenn das eingesetzte y < 0 ist, Test zu meiner Aussage bei deinem Beispiel: y=x^2 -> a=1 b=0 c=-y -> D=b^2 -4ac ->D=y)
und dann um das x zu bekommen, kannst du die folgende Gleichung verwenden:

Wenn D= 0 ist, gibt es natürlich nur ein x, aber wenn D>0 ist, dann bekommst du x1 indem du die Wurzel addierst, und wenn du die Wurzel subtrahierst, bekommst du x2.

Um den Scheitelpunkt zu bekommen, gibt es mehrere Wege, z.B. kannst du die Nullstellen (Punkte, wo die Parabel die X-Achse schneidet) addieren und durch 2 teilen. Dieses x liegt dann genau in der Mitte der Nullstellen, da die Parabel symmetrisch ist, muss dies nun das x des Scheitelpunktes sein. x in der quadratischen Funktion einsetzen -> y des Scheitelpunktes

[TheBiber]

Ich ergänze am besten noch mit einigen Formeln. Die allgemeine quadratische Funktion (und somit Parabel) hat wie gesagt die Form .

Der erste wichtige Wert ist das a, der natürlich nicht 0 sein darf. Er gibt die Streckung bzw. Stauchung der Parabel im Verhältnis zur Standardparbel an. Ist a>0, so ist die Parabel nach oben geöffnet. Ist a<0, ist sie nach unten geöffnet. Ist a dem Betrage nach grösser als 1, so ist die Parabel zusammengestaucht, ist der Betrag zwischen 0 und 1, so ist die Parabel in die Länge gezogen. Die Werte von b bestimmen dann die Verschiebung in x-Richtung, die aber nicht so ganz einfach nachzuvollziehen ist im Allgemeinen. Der Wert von c dagegen ist einfach der Schnittpunkt mit der y-Achse. Am einfachsten bestimmt man zunächst die Nullstellen und den Scheitelpunkt.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind die Nullstellen. Man erhält sie durch nullsetzen der Funktion. Mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen erhält man:

Wird der Term unter der Wurzel (Diskriminante) positiv, erhält man zwei Schnittstellen, wird er 0, dann liegt der Scheitelpunkt genau auf der Schnittstelle, ist er negativ, schneidet die Parabel die x-Achse nicht.

Den Scheitelpunkt erhält man allgemein durch die Formeln: und

Und zum Schluss ist es, wie schon erwähnt wurde, praktisch, wenn man eine Wertetabelle aufstellt. Anhand dieser lässt sich die Parabel meistens sofort zeichnen.

[Desmond]

So, entschuldigt die späte Antwort. Ich möchte mich erstmal herzlich bei euch bedanken, eure Posts haben mir sehr geholfen. : ). Danke!

Ich werde mich eventuell die nächsten Tage nochmal melden, falls ich noch Probleme habe.