Frage zur Vektorrechnung

[TheBiber]

Dann habe ich die Frage wohl falsch aufgefasst.

Also wenn wir statt einen dreidimensionalen einen zweidimensionalen Raum zulassen, ändert sich an den Parameterdarstellungen ebenfalls nur die Dimension. Eine Gerade wird dann nur noch durch zwei Gleichungen beschrieben. Flächengleichungen sind allerdings nicht mehr möglich, da der zweidimensionale Raum eine Ebene ist. Was du hier unter Flächen verstehst sind Geometrische Figuren.

Im Prinzip lässt sich aber alles parametrisieren: Eine Strecke ist nichts anderes als eine Gerade, bei dem du den Parameter t in einem Intervall beschränkst, d.h. er darf nur Werte zwischen zwei reellen Zahlen annehmen. Quadrate lassen sich so als eine Menge von mehreren Strecken auffassen, d.h. du brauchst für jede einzelne Strecke eine eigene Parameterdarstellung.

Obige Methode funktioniert immer noch, nur das die Einzelfälle zu mühsamen Spezialfällen werden: Willst du prüfen, ob eine Strecke ein Quadrat schneidet, musst du die Parameterdarstellung der Strecke mit jeder einzelnen der 4 Parameterdarstellungen der Geraden gleich setzen. Zudem musst du für alle Parameter prüfen, ob die Lösungen innerhalb der Intervalle liegen, da ansonsten der Schnittpunkt nicht gegeben ist.

Zu deiner Frage, ob es ausserhalb der Vektorrechnung Lösungen gibt: Es kommt auf den Fall an. Liegt ein Rechteck parallel zum Koordinatensystem, dann lässt sich das Rechteck einfach als Menge von Punkten beschreiben, z.B. ein Reckteck R der Breite 3 und der Höhe 2, bei dem der linke untere Eckpunkt mit dem Ursprung des Koordinatensystems zusammenfällt, wäre:

Wenn du eine Strecke gegeben hast, kannst du sie als Parameterdarstellung beschreiben, oder als Punktmenge oder, falls sie nicht senkrecht ist, auch als eine Funktionsgleichung .

Für die Frage, ob die Strecke das Rechteck schneidet, gibt es deshalb verschiedenste Möglichkeiten. Eine wäre z.B. die x-Koordinate eines linken oder rechten Randpunktes des Rechtecks zu überprüfen, ob sie innerhalb der Intervallgrenzen der x-Koordinate der Strecke liegt. Falls ja, so setzt man die x-Koordinate in die Parameterdarstellung/Mengengleichung/Funktion ein und berechnet die y-Koordinate. Liegt diese ebenfalls im Rechteck, so besteht ein Schnitt, ansonsten nicht. Dies muss dann für alle vier Kanten des Rechtecks einzeln durchgeführt werden.