Kommt drauf an, wie alt dein Rechner ist. Ich hab auf meiner 450MHz-AMD-K6-Kiste mit 256 MB RAM mit Debian angefangen und hab es seitdem auf allen Rechnern laufen gehabt. RAM dürfte auch eher ein Kriterium, das bestimmte Distros ausschließt. Allgemein werden 128 MB für einen KDE- oder GNOME-Desktop als ausreichend betrachtet, ab 256 solltest du die meisten modernen Distros laufen lassen können. Unter 128 MB solltest du dich vielleicht auch nach speziell auf geringe Anforderungen ausgerichtete Distros umsehen, die alternative Window Manager wie fluxbox oder icewm verwenden
Wenn Stabilität dazu noch ein Hauptkriterium ist, dürfte Debian auch zur besten Auswahl gehören - bei zwar relativ langen Releasezyklen werden Pakete im stable-Zweig entsprechend lange mit Sicherheitsupdates bedacht. Mit dem Nachteil, dass die Pakete aus dem Zweig keine Feature-Upgrades bekommen und du dafür entweder auf die testing- bzw. unstable-Zweige oder inoffizielle Backports zurückgreifen musst.
Debian verlangt zwar einiges an Einarbeitung, dafür bringt es allerdings auch eine Menge an Dokumentation mit sich. Und allgemein Unmengen an paketierter Software.
Slackware hat auch den Ruf, auf älterer Hardware ganz passabel zu laufen. Allerdings fällt mir keiner hier ein, der es primär einsetzt und viel mehr dazu erzählen kann.