Mathe 12. Klasse BITTE UM HILFE!

[Heaven and Hell]

Hi, ich versuchs mal ;-)

Die Hesse-Normalenform gilt für Ebenen, und so wie du es geschrieben hast, ist es ziemlich falsch, sorry ;-)

Also, ganz allgeimein ist die Hesse-Normalform einer Ebene wie folgt definiert:
\vec n \vec x=d" />, wobei n der Einheitsnormalenvektor und d (größer gleich 0) der Abstand der Ebene vom Ursprung sind.

oder als Koordinatendarstellung: ax_1+bx_2+cx_3=d" />, wobei a,b,c die Komponenten des "Einheits"normalenvektors sind und d (wie oben) der abstand vom Ursprung.

Vllt mal ein Beispiel: du hast eine Ebene in Parameterdarstellung gegeben: \vec x= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}" />.

Aus den Richtungsvektoren erhält man mithilfe des Vektorprodukts (s. Wikipedia, in der Shcule macht man es glaub noch mit nem kleinen Gleichungssystem, ich finde aber Vektorprodukt bequemer) den Normalenvektor .

Damit kann man jetzt die Ebene in Koordinatendarstellung schonmal halbwegs aufstellen: 1*x_1+1*x_2-1*x_3=u" />. Die Konstante u erhält man durch einsetzen des Stützpunktes der Ebene:
Also lautet die Ebene in Koordinatendarstellung: x_1+x_2-x_3=1" />

So, der Rest ist eigentlich ziemlich einfach. Nun teilst du die gesamte Ebenengleichung einfach durch den Betrag des Normalenvektors. Dieser ist: .

Das macht ganz am Ende für die Hesse-Normalform für E_1:
\frac{1}{sqrt{3}}x_1+ \frac{1}{sqrt{3}}x_2- \frac{1}{sqrt{3}}x_3\ = \frac{1}{sqrt{3}} " />

Daraus erkennt man jetzt z.B., dass diese Ebene den Abstand 1/Wurzel3 vom Ursprung hat.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen ;-)