divergente Defizite in Mathe !_!

**Mordechaj** · 19.10.2007 16:11

Huhu ihr Freunde der Zahlen =)

Ich habe aufgrund eines Aufgabenkomplexes (dessen Lösung zu meinem Leidwesen benotet wird) einige Dinge festgestellt, die mir sehr schwer fallen, einerseits, weil ganz grob gesagt meine letzte Mathelehrerin nicht so ganz das Gelbe in der Sahnesoße war und ich zweiter für vieles auch einfach kein Vorstellungsvermögen habe^^".

Grob gesagt geht es im Moment erstmal nur um Zahlenfolgen:

a) habe ich hier eine Aufgabe, in der ich die Anzahl derjeniger Glieder der Folge $c_n = \frac{n^2}{4n^2-1}$ berechnen soll, die außerhalb von ε-Umgebung von g liegen, wobei ε = 10^-5

Nun habe ich bereits g auf $\frac{1}4$ bestimmt, habe aber überhaupt keinen Anhaltspunkt, wie man die Anzahl der Glieder außerhalb von ε bestimmen könnte, zumal wir außer der Tatsache, dass ε eben der Bereich um g ist, in dem unendlich viele Glieder liegen und eben endlich viele außerhalb davon, nichts darüber erfahren haben (das sei den L-Kursen vorbehalten !_!).

b) habe ich nie so wirklich geschnallt, wie die Sache mit den Logarithmen funktioniert, geschweigedenn, die Gesetze (die wir uns meines Wissens nach auch nicht aufgeschrieben haben). Ich komme mit Müh und Not immer auf die Tatsache, dass $a = b^x$ in $x = log_b a$ umgewandelt wird. Es geht aber schon bei der Eingabe in den Taschenrechner los, dass ich nicht schnalle, wie man beispielsweise $log_{1,25} 1000$ mit dem Zehnerlogarithmus ausrechnen kann, wobei ich jetzt sogar glaube, mir erknobelt zu haben, dass das $\frac{lg 1000}{lg 1,25}$ sein müsste (auch, wenn mein Taschenrechner ein log statt lg anzeigt).

Eine kleine Reaktion wäre also sehr schön, zumal das ganze sich anscheinend auf Abiniveau bewegt und die Logarithmen ja ständig gebraucht werden !_! (ich hab hab mich da jetzt schon lange genug dran vorbei gemogelt

).
Es muss auch quantitativ nichts Tolstoi'sches sein, nur brauch ich in dem Punkt dringend Hilfe^^".

Vielen Dank schonmal im Vorraus =).

btw. ist die TEX-Funktion ja mal irre nützlich !_! man lernt nie aus

**TheBiber** · 19.10.2007 19:19

Zu a) sag ich momentan nichts, da ich gerade wenig Zeit habe und mir Folgen auch nicht wirklich liegen, schon gar nicht, wenn da ein epsilon vorkommt.

Zu b) Die Logarithmen sind nicht allzu schwierig. Die Definition der Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion:

$a=b^x \Leftrightarrow x = \log_b a$

b bezeichnet man hierbei als Basis und x als Exponenten. Spezielle Logarithmen zeichnet man speziell aus:

$a=e^x \Leftrightarrow x = \ln a$
$a = 10^x \Leftrightarrow x = \log a$
$a = 2^x \Leftrightarrow x = \lg a$

Wobei ich ausdrücklich darauf hinweisen muss, dass dies bei weitem nicht überall eingehalten wird. Bei uns wird log und ln im gleichen verwendet.

Die wichtigsten Logarithmengesetze sind:

$\log (a\cdot b) = \log a + \log b$ , weil $x^a\cdot x^b = x^{(a+b)}$
$\log (a^b) = b\cdot\log a$ , folgt aus obiger Regel.
Analog gilt: $\log (\frac{a}{b}) = \log a - \log b$
Weiter: $\log (\sqrt[n] a) = \frac{1}{n}\log a$

Für den Taschenrechner verwendet man einen der obigen Standardlogarithmen, um einen Logarithmus beliebiger Basis zu berechnen: $\log_b x = \frac{\log x}{\log b}$

Das sollte reichen, hab gerade keine Zeit mehr.

Ein Beweis dafür lass ich deshalb auch, gibt übrigens genug im Internet oder gerade auf Wikipedia dazu.

EDIT: Habe noch nen Fehler korrigiert bei den Standardlogarithmen, hatte b statt a geschrieben, obwohl eigentlich b fest ist und a variabel.

**Mordechaj** · 19.10.2007 19:33

Zitat von TheBiber

Ein Beweis dafür lass ich deshalb auch, gibt übrigens genug im Internet oder gerade auf Wikipedia dazu.

Bei Wikipedia hatte ich auch geschaut, nur muss ich ganz ehrlich sagen, dass mein Hirn leider allergisch auf derartig vielschichtige Mathematik reagiert =/. Man könnte sozusagen meinen, ich würde das Forum missbrauchen, um mir Dinge zusammenzufassen !_! ... Dreistigkeit ist mein zweiter Vorname =(.

Dir jedenfalls verbindlichsten Dank =). Zum Thema Logarithmus war das jetzt zumindest denke ich alles, was ich gebraucht hab und dazu auch noch in sehr einprägsamer Form, sodass ich mich einfach mal damit hinsetzen und lernen werde =).
Dankeschön auch für deine Zeit und ich denke tatsächlich, dass das so vollkommen ausreichend ist, um was damit anfangen zu können =).

**Mordechaj** · 21.10.2007 11:32

Hm...fieser Doppelpost, aber der sei mir mal kurz gegönnt (ja, das hab ich eben so beschlossen und das wiegt schließlich mehr als ein Befehl Gottes

).

Ich hänge jetzt leider an einer weiteren Aufgabe, die mir aufgrund schwerer Unfähigkeit im Thema Funktionen besonders viel Freude macht.

Sei $(f_n)$ eine Folge von Funktionen folgendermaßen definiert:

$f_0(x) = \frac{1}{1-x}$ und $f_n(x) = f_0(f_{n-1}(x))$ , mit (n ≥ 1).
Berechnen Sie $f_{2004}(2004)$ .

Nun bin ich mir fast sicher, dass man die beiden Funktionen irgendwie ineinander einsetzen müsste, nur leider habe ich keinen blassen Schimmer, wie das miteinander einhergeht.

Oh, und das Problem mit ε besteht leider immernoch =/.

Herzlichst nochmal flehend wäre ich überaus beglückt über Lösungsvorschläge =).

**gas** · 21.10.2007 12:48

in einer solchen situation ist es immer hilfreich, mal ein einfaches beispiel durchzurechnen.

[/TEX]

sollte problemlos zu verallgemeinern sein.

**Mordechaj** · 21.10.2007 13:25

Danke erstmal für deine Antwort =).

Dein Beispiel ist in sich auch stark einleuchtend, allerdings weiß ich nicht genau, ob man $f_0(f_{n-1}(x))$ einfach so in $f_0(x) \cdot f_{n-1}(x)$ umwandeln kann, denn es heißt ja ausgesprochen in dem Fall $f_n$ von $x$ ist $f_0$ von $f{n-1}$ von $x$ .

Oder ist das das selbe? (ich muss dazusagen, dass ich das tatsächlich ernst meinte, mit Funktionen auf Kriegsfuß zu stehn ;_;")

Oh und dann hab ich mich im Internet nochmal schlau gemacht und herausgefunden, dass $|c_n-g|$ < ε sein muss, um im Bereich ε zu liegen und mir daraus dann folgende Herleitung gebastelt:

$\frac{n^2}{4n^2-1} + \frac{1}4 = \frac1{10^5}$
$\frac{n^2}{4n^2-1} = \frac1{10^5} - \frac{1}4$
Ausklammern von n² auf der linken Seite der Gleichung
$\frac1{4-\frac1{n^2}} = \frac1{10^5} - \frac{1}4$
Heraustrennen von 1/4 auf der linken Seite und auf die rechte Seite Bringen
$-\frac1{n^2} = \frac1{\frac1{10^5} + \frac1{4}} + 4$
Multiplizieren mit -1 und Reziprokbildung
$n^2 = \frac1{4 - \frac1{\frac1{10^5} + \frac1{4}}}$
Wurzelziehen und Ausrechnen lassen (mein Taschenrechner kann das !_!)

n ~ 79,059, somit also die Anzahl der Glieder außerhalb von ε 79, da (n ≥ 1).

Macht das irgendeine Art von Sinn?

**gas** · 21.10.2007 19:24

Zitat von Eynes'Prayer

Dein Beispiel ist in sich auch stark einleuchtend, allerdings weiß ich nicht genau, ob man $f_0(f_{n-1}(x))$ einfach so in $f_0(x) \cdot f_{n-1}(x)$ umwandeln kann

okay, rechne es meinem unaufmerksamen blick an. wäre auch ein bischen einfach gewesen.
wahrscheinlich muss man sich zur lösung der aufgabe ein wenig mit kettenbrüchen auskennen.

**Mordechaj** · 21.10.2007 19:43

Zitat von gas

okay, rechne es meinem unaufmerksamen blick an. wäre auch ein bischen einfach gewesen.
wahrscheinlich muss man sich zur lösung der aufgabe ein wenig mit kettenbrüchen auskennen.

Hihi^^ danke dir trotzdem sehr =). Ich muss wahrscheinlich auch zu meiner Schande gestehen, dass ich nichtmal weiß, was Kettenbrüche sind, aber gut >_>.
Jedenfalls...trotzdem danke^^.

**gas** · 21.10.2007 22:47

Zitat von Eynes'Prayer

Hihi^^ danke dir trotzdem sehr =). Ich muss wahrscheinlich auch zu meiner Schande gestehen, dass ich nichtmal weiß, was Kettenbrüche sind, aber gut >_>.

ich kenne mich auch nicht damit aus, aber so kompliziert dürfte es eigentlich nicht sein, irgendwo muss ein trick sein. und es gibt tatsächlich einen. ich habe nochmal drüber nachgedacht.
es handelt sich um eine fixpunkt-iteration. das heißt, dass man eine funktion f(x) = 1/(1-x) hat, in die man einen anfangswert (2004) einsetzt. dann setzt man das ergebnis, das man daraus erhält (f0(2004)) wieder in f(x) ein und erhält so f1(2004).
stelle dir die funktion als maschine vor. du steckst x=2004 rein und am anderen ende kommt f0(2004) wieder raus. dann steckst du das was du herausbekommen hast, f0(2004), wieder rein und am anderen ende kommt nun f1(2004) raus.
in der regel sollte das was rauskommt sich einem festen wert (dem fixpunkt) annähern, aber es kann vorkommen, dass man stattdessen im kreis läuft. genau das ist hier der fall, was die suche nach dem ergebnis erheblich einfacher macht. leider kann ich das nicht so recht in worte fassen, daher habe ich es mal beispielhaft vorgerechnet:

es ist ein bischen geschmiert, aber ich hoffe dass klar wird, was ich gemacht habe. ich hab 2004 in die maschine gesteckt und es kam ein ergebnis raus. dann habe ich das ergebnis in die maschine gesteckt und es kam ein neues ergebnis raus. das habe ich ein paar mal wiederholt, bis überraschenderweise wieder das rauskam, was ich am anfang reingesteckt habe.

f0 = f3 = f6 = f9 = ...
f1 = f4 = f7 = f10 = ...
f2 = f5 = f8 = f11 = ...
oder allgemein
fn = f(n mod 3)
wobei mod modulo-division bedeutet, d.h. das das ergebnis von (a mod b) der rest der ganzzahligen division a/b ist.

z.b.:
9/4 = 2 REST 1
also
9 mod 4 = 1

oder eben
2004 mod 3 = 0.

ich hoffe, ich konnte es einigermaßen verständlich erklären.

**Mordechaj** · 25.10.2007 21:16

Huch, da bekommt man schon Hilfe und dann übersieht man das ganze auch noch =/.

Also ich bin dir erneut zu Dank verpflichtet, zumal ich den Prozess jetzt sogar, wie ich glaube, verstanden habe! Ich muss mir das Ganze zwar trotzdem erst nochmal zu Gemüte führen, aber so gesehen erscheint mir der Rechenweg durchaus logisch und deine Ausführungen sind selbst für mich Mathemuffel sehr einleuchtend =).

Danke dir also vielmals für die Antwort.
Wär ich schlau genug gewesen, sie rechtzeitig zu sehen, hätt ich die Aufgabe sogar noch mit abgeben können =/. Nunja^^".

**Strato** · 26.10.2007 14:56

Zitat von Eynes'Prayer

Hm...fieser Doppelpost, aber der sei mir mal kurz gegönnt (ja, das hab ich eben so beschlossen und das wiegt schließlich mehr als ein Befehl Gottes

).

Ich hänge jetzt leider an einer weiteren Aufgabe, die mir aufgrund schwerer Unfähigkeit im Thema Funktionen besonders viel Freude macht.

Sei $(f_n)$ eine Folge von Funktionen folgendermaßen definiert:

$f_0(x) = \frac{1}{1-x}$ und $f_n(x) = f_0(f_{n-1}(x))$ , mit (n ≥ 1).
Berechnen Sie $f_{2004}(2004)$ .

Die Funktionen werden ineinander eingesetzt. Um die 2004-te Funktion auszurechnen, könnte man jetzt das Ganze 2004-mal ineinander einsetzen, was zwar in endlicher Zeit machbar ist, aber natürlich nicht Sinn der Aufgabe sein kann. Stattdessen verschafft man sich einen Überblick, indem man die ersten paar Funktionen bestimmt:

$f_0(x) = \frac{1}{1-x}$

$f_1(x) = f_0(f_0(x)) = \frac{1}{1-\frac{1}{1-x}} = \frac{x-1}{x}$

$f_2(x) = f_0(f_1(x)) = \frac{1}{1-{\frac{x-1}{x}}}= x$

$f_3(x) = f_0(f_2(x)) = f_0(x)$

Die Funktionen wiederholen sich also, so dass es jetzt kein Problem mehr ist, die 2004-te Funktion zu bestimmen

Zitat von Eynes'Prayer

Oh und dann hab ich mich im Internet nochmal schlau gemacht und herausgefunden, dass $|c_n-g|$ < ε sein muss, um im Bereich ε zu liegen und mir daraus dann folgende Herleitung gebastelt:

$\frac{n^2}{4n^2-1} + \frac{1}4 = \frac1{10^5}$
$\frac{n^2}{4n^2-1} = \frac1{10^5} - \frac{1}4$
Ausklammern von n² auf der linken Seite der Gleichung
$\frac1{4-\frac1{n^2}} = \frac1{10^5} - \frac{1}4$
Heraustrennen von 1/4 auf der linken Seite und auf die rechte Seite Bringen
$-\frac1{n^2} = \frac1{\frac1{10^5} + \frac1{4}} + 4$
Multiplizieren mit -1 und Reziprokbildung
$n^2 = \frac1{4 - \frac1{\frac1{10^5} + \frac1{4}}}$
Wurzelziehen und Ausrechnen lassen (mein Taschenrechner kann das !_!)

n ~ 79,059, somit also die Anzahl der Glieder außerhalb von ε 79, da (n ≥ 1).

Macht das irgendeine Art von Sinn?

Ja, fast. Du hast nur in der ersten Zeile das Vorzeichen verwechselt. Du musst 1/4 abziehen und nicht addieren.

Die Abweichung des n-ten Folgengliedes gegenüber 1/4 ist:

$\frac{n^2}{4n^2-1} - \frac{1}4 = \frac{4n^2-4n^2+1}{16n^2-4} = \frac{1}{4(4n^2-1)}$

Dieser Wert soll größer als 0.00001 sein.

$\frac{1}{4(4n^2-1)} > \frac{1}{10^5}$

$10^5 > 4(4n^2-1)$

$625,25 > n^2$

$n \le 25$

25 Folgenglieder liegen außerhalb der Umgebung.

EDIT:
Korrektur bei der ersten Aufgabe.
Kommt allerdings aufs Gleiche raus ^^

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