[Mathematik] Aufgaben zu gebrochenrationalen Funktionen.

[Aurae]

Hallo,

ich habe momentan ein paar Probleme mit einigen Aufgaben, die sich um gebrochenrationale Funktionen drehen, und bitte hiermit um Hilfe, wie sie zu lösen sind. ;(

"Durch ft(x) = 16/(x²-t) ist für "t ist Element von R+" eine Funktion ft gegeben. Ihr Schaubild sei Kt.
a) Gib die Asymptoten und den Hochpunkt Ht von Kt an. Zeichne K4.
b) Auf jeder Kurve Kt gibt es außer Ht zwei weitere Punkte Pt und Qt, für welche die Normalen durch den Ursprung O geht. Berechne ihre Koordinaten. Auf welcher Linie liegen sie?"

und

"Für jedes "t ist Element von R" ist eine Funktion gegeben durch ft(x) = (4x³+tx-t³)/x. Ihr Schaubild sei Kt.
a) Untersuche ft auf Extremwerte. Hat ft ein globales Minimum oder ein globales Maximum?
b) Welche der Funktionen ft hat den kleinsten Extremwert? An welcher Stelle wird er angenommen? Wie groß ist dieser Extremwert?"

Mit den a)-Teilaufgaben hatte ich keine Probleme, die b)-Teile bekomme ich aber nicht raus. Hilfe bitte :(

[MagicMagor]

Bei der ersten b)-Aufgabe muss ich passen, weiß nicht mehr genau was mit Normale gemeint ist (gott ist das lange her).

Bei der zweiten kann ich aber denke ich helfen. Da du eine Funktion mit Parameter (t) hast, kriegst du als Extremwert ja keinen Punkt, sondern wiederrum eine Funktion.
zB x(t) = 4t
(ist nur ein Beispiel)
Gesucht wird nun dasjenige t, das den geringsten Extremwert ergibt. Der Extremwert errechnet sich ja durch t und obiges x, eingesetzt in ft:
ex(t) = (4x(t)^3 + tx(t)-t^3)/x(t)
Wie du hier siehst habe ich überall wo in ft x steht, x(t) eingesetzt, ausserdem ist diese Funktion abhängig von t (normalerweise ist eine Funktion abhängig von x). Wenn wir nun den Wert von x(t) einsetzen (in diesem Beispiel 4t) kriegen folgende Funktion:
ex(t) = (256t^3 + 4t^2 - t^3)/4t
ex(t) = (255t^3 + 4t^2)/4t | t ausklammern und kürzen
ex(t) = (255t^2 + 4t)/4
Diese Funktion ergibt nun den Extremwert von ft, für beliebiges t. Da du den geringsten Extremwert suchst, musst du ex(t) nun auf Extrema, genauer gesagt auf Minimumstellen untersuchen. Das ergibt dein gesuchtes t. Wichtig hier ist, daß in ex(t), t != 0 sein muss, während t in ft Element von R ist (und damit auch 0 sein kann), den Fall t = 0, müsstest du also nochmal gesondert nachrechnen. (Durch einsetzen in ft)
(Dein ex(t) sieht natürlich anders aus, je nachdem was du als Extremstelle x(t) rausbekommst)

Falls ich Mist labere, möge jemand der mehr weiß mich korrigieren.

[Aurae]

Hahaha oh gott das ist ja total einfach :D ich mach mir da so nen riesigen Umstand. Vielen Dank, jetzt hab ichs raus. :) Und eine Normale bezeichnet soweit ich weiß eine Gerade, die senkrecht zur Tangente in einem Punkt steht. Vielen Dank nochmal bisher!

[Aurae]

Echt keiner, der die Aufgabe mit der Normalen hinkriegt? :(

[Strato]

Ich schreib zu den a-Teilen auch was hin, kann ja nicht schaden ^^

Hallo,

ich habe momentan ein paar Probleme mit einigen Aufgaben, die sich um gebrochenrationale Funktionen drehen, und bitte hiermit um Hilfe, wie sie zu lösen sind. ;(

"Durch ft(x) = 16/(x²-t) ist für "t ist Element von R+" eine Funktion ft gegeben. Ihr Schaubild sei Kt.
a) Gib die Asymptoten und den Hochpunkt Ht von Kt an. Zeichne K4.

...

Für
x² = t
ist die Funktion nicht definiert (Division durch Null) und hat dort dann dementsprechend eine Polstelle und eine senkrechte Asymptote.
Zu beachten ist hier, dass die Gleichung
x² = t
zwei Lösungen hat, nämlich
x = sqrt(t)
und
x = -sqrt(t)
("sqrt" ist die Quadratwurzel)

D.h. es gibt auch zwei senkrechte Asymptoten mit den Gleichungen
x = sqrt(t)
und
x = -sqrt(t)

Für
t=4
bedeutet das
x = 2
und x = -2

Die dritte und letzte Asymptote ist die x-Achse, da die Funktion für
x -> (unendlich)
und
x -> (minus unendlich)
jeweils gegen 0 geht.

Am Hochpunkt ist die erste Ableitung gleich Null und die zweite Ableitung negativ.

Erste Ableitung:
f'(x) = -32x / (x²-t)²

Nullstellen der ersten Ableitung sind gleichzeitig auch Nullstellen des Zählers, d.h. hier gibt es nur eine einzige Nullstelle der ersten Ableitung bei
x = 0

Wegen
t > 0
wird der Nenner nicht gleichzeitig Null, so dass hier auch keine Definitionslücke dazwischenfunkt.

Nur weil die erste Ableitung gleich null ist (waagrechte Tangente), muss es sich aber noch nicht um einen Hochpunkt handeln. Jetzt kann man entweder die zweite Ableitung betrachten und zeigen, dass sie für x=0 negativ ist, oder man betrachtet das Vorzeichen der ersten Ableitung:

f'(x) = -32x / (x²-t)²

Der Nenner ist (abgesehen von den Definitionslücken) immer positiv, und der Zähler ist
positiv für x<0
und
negativ für x>0

Damit muss es sich bei x=0 um einen Hochpunkt handeln, denn die Funktion steigt "links davon" und fällt "rechts davon".

Der Funktionswert am Hochpunkt ist
f(0) = 16 / (-t)

Für t = 4 liegt der Hochpunkt bei
(0 | -4)


Für t=4 vereinfacht sich die Funktion zu
f(x) = 16 / (x²-4)
oder, umgeformt
f(x) = 16 / [(x-2) * (x+2)]


In der Zeichnung sollten die beiden Polstellen, der Hochpunkt und die starke Abflachung nach links und rechts hin erkennbar sein.
ich würde noch die Funktionswerte bei -4, -1, 1 und 4 ausrechnen, das geht recht flott.

b) Auf jeder Kurve Kt gibt es außer Ht zwei weitere Punkte Pt und Qt, für welche die Normalen durch den Ursprung O geht. Berechne ihre Koordinaten. Auf welcher Linie liegen sie?"

...

Normalengleichung im Punkt x0 (Formelsammlung):
n(x) = f(x0) - (x - x0) / f'(x0)

Diese Gleichung ist genau dann erfüllt, wenn der Punkt
(x | n(x))
auf der Normalen durch x0 liegt.

Setzt man für
(x | n(x))
den Ursprung ein, erhält man
0 = f(x0) + x0 / f'(x0)
bzw. umgeformt (siehe Bemerkung ganz unten)
x0 = -f(x0) * f'(x0)

Für
f(x0) = 16 / (x0² - t)
und
f'(x0) = -32x0 / (x0² - t)²
bedeutet das:

x0 = [-16 / (x0² - t)] * [-32x0 / (x0² - t)²]

Umformen (siehe Bemerkung ganz unten) und mit x0 kürzen:
(x0² - t)³ = 512

Mit
512 = 2^9 = 8³
folgt:

x0² - t = 8

=> x0² = t + 8

Diese Gleichung hat 2 Lösungen, die die x-Werte der gesuchten Punkte liefern, nämlich
x = -sqrt(t+8)
und
x = sqrt(t+8)

Die y-Werte sind identisch, nämlich
f (-sqrt(t+8)) = f (sqrt(t+8)) = 16 / (t+8-t) = 2

D.h. egal welchen Wert t hat und wie die Funktion aussieht, die beiden Punkte P und Q haben immer den y-Wert 2. Ihre x-Werte sind verschieden und hängen von t ab.

Diese Punkte liegen daher alle auf einer waagrechten Geraden mit der Gleichung
y = 2


Bemerkung zu zwei Umformungen:
In einer Prüfung sollte man hier evtl. dazuschreiben, dass (und warum) die variablen Terme, mit denen man die Gleichung multipliziert, nicht Null sein können und man keine Fallunterscheidung braucht.
Im ersten Fall wird die Gleichung mit f'(x0) multipliziert, was nur für x0=0 Null wird. Bei x0=0 ist aber der Hochpunkt, und der ist ausdrücklich ausgenommen.
Beim zweiten Fall wird mit x0 gekürzt (das kann wieder nur am Hochpunkt zu Null werden) und mit (x0² - t)³ multipliziert, was nur an den Polstellen zu Null werden kann (auch die Polstellen sind logischerweise ausgenommen, da die Funktion dort nicht definiert ist logischerweise dort keine Normalen haben kann).

[Strato]

Zweite Aufgabe:

"Für jedes "t ist Element von R" ist eine Funktion gegeben durch ft(x) = (4x³+tx-t³)/x. Ihr Schaubild sei Kt.
a) Untersuche ft auf Extremwerte. Hat ft ein globales Minimum oder ein globales Maximum?

...

Für die Extremwerte muss wieder abgeleitet werden.

f'(x) = [x * (12x² + t) - 4x³ - tx + t³] / x²
oder umgeformt
f'(x) = (8x³ + t³) / x²

Nullstelle des Zählers:
8x³ = -t³
(2x)³ = -t³
x = -t/2

Es gibt also nur eine Extremstelle, bei x = -t/2.
Der Funktionswert (für t!=0) ist
f(-t/2) = (-4*t³/8 - t²/2 - t³) / (-t/2)
bzw. umgeformt
f(t/2) = 3t² + t

Für t=0 gibt es keine Extremstelle, da sie bei x=0 liegen müsste und die Funktion dort eine Definitionslücke (aber lustigerweise keine Polstelle, sondern einfach ein "Loch") hat.

Für t!=0 hat die Funktion bei x=0 eine einfache Polstelle (einfache Nullstelle des Nenners). Dort geht die Funktion an einer Seite gegen "plus unendlich" und auf der anderen Seitengegen "minus unendlich" und kann deshalb insgesamt keine globalen Extrema besitzen.

b) Welche der Funktionen ft hat den kleinsten Extremwert? An welcher Stelle wird er angenommen? Wie groß ist dieser Extremwert?"

...

Der Extremwert ist immer
3t² + t

Als Funktion von t betrachtet, ist das eine nach oben geöffnete Parabel, die genau einen Tiefpunkt haben muss.

Der t-Wert t0 des Tiefpunktes ist jetzt nicht mehr schwer auszurechnen (Scheitelpunktformel), es ist
t0 = -1 / (2*3) = -1/6

Und der niedrigste Extremwert ist
3 * (-1/6)² - 1/6 = -1/12

[Aurae]

Wow... also auf die Lösung zur ersten b)-Aufgabe wär ich nicht gekommen. Aber okay, ich kannte die Normalengleichung auch nicht.^^' Vielen Dank, übrigens auch dafür, dass du alles gerechnet hast die a)-Teile hab ich ja selbst auch so gerechnet.