[Mathematik] Aufgaben zu gebrochenrationalen Funktionen.

[Strato]

Zweite Aufgabe:

"Für jedes "t ist Element von R" ist eine Funktion gegeben durch ft(x) = (4x³+tx-t³)/x. Ihr Schaubild sei Kt.
a) Untersuche ft auf Extremwerte. Hat ft ein globales Minimum oder ein globales Maximum?

...

Für die Extremwerte muss wieder abgeleitet werden.

f'(x) = [x * (12x² + t) - 4x³ - tx + t³] / x²
oder umgeformt
f'(x) = (8x³ + t³) / x²

Nullstelle des Zählers:
8x³ = -t³
(2x)³ = -t³
x = -t/2

Es gibt also nur eine Extremstelle, bei x = -t/2.
Der Funktionswert (für t!=0) ist
f(-t/2) = (-4*t³/8 - t²/2 - t³) / (-t/2)
bzw. umgeformt
f(t/2) = 3t² + t

Für t=0 gibt es keine Extremstelle, da sie bei x=0 liegen müsste und die Funktion dort eine Definitionslücke (aber lustigerweise keine Polstelle, sondern einfach ein "Loch") hat.

Für t!=0 hat die Funktion bei x=0 eine einfache Polstelle (einfache Nullstelle des Nenners). Dort geht die Funktion an einer Seite gegen "plus unendlich" und auf der anderen Seitengegen "minus unendlich" und kann deshalb insgesamt keine globalen Extrema besitzen.

b) Welche der Funktionen ft hat den kleinsten Extremwert? An welcher Stelle wird er angenommen? Wie groß ist dieser Extremwert?"

...

Der Extremwert ist immer
3t² + t

Als Funktion von t betrachtet, ist das eine nach oben geöffnete Parabel, die genau einen Tiefpunkt haben muss.

Der t-Wert t0 des Tiefpunktes ist jetzt nicht mehr schwer auszurechnen (Scheitelpunktformel), es ist
t0 = -1 / (2*3) = -1/6

Und der niedrigste Extremwert ist
3 * (-1/6)² - 1/6 = -1/12

[Aurae]

Wow... also auf die Lösung zur ersten b)-Aufgabe wär ich nicht gekommen. Aber okay, ich kannte die Normalengleichung auch nicht.^^' Vielen Dank, übrigens auch dafür, dass du alles gerechnet hast die a)-Teile hab ich ja selbst auch so gerechnet.