Ich schreib zu den a-Teilen auch was hin, kann ja nicht schaden ^^
FürZitat von Aurae
x² = t
ist die Funktion nicht definiert (Division durch Null) und hat dort dann dementsprechend eine Polstelle und eine senkrechte Asymptote.
Zu beachten ist hier, dass die Gleichung
x² = t
zwei Lösungen hat, nämlich
x = sqrt(t)
und
x = -sqrt(t)
("sqrt" ist die Quadratwurzel)
D.h. es gibt auch zwei senkrechte Asymptoten mit den Gleichungen
x = sqrt(t)
und
x = -sqrt(t)
Für
t=4
bedeutet das
x = 2
und x = -2
Die dritte und letzte Asymptote ist die x-Achse, da die Funktion für
x -> (unendlich)
und
x -> (minus unendlich)
jeweils gegen 0 geht.
Am Hochpunkt ist die erste Ableitung gleich Null und die zweite Ableitung negativ.
Erste Ableitung:
f'(x) = -32x / (x²-t)²
Nullstellen der ersten Ableitung sind gleichzeitig auch Nullstellen des Zählers, d.h. hier gibt es nur eine einzige Nullstelle der ersten Ableitung bei
x = 0
Wegen
t > 0
wird der Nenner nicht gleichzeitig Null, so dass hier auch keine Definitionslücke dazwischenfunkt.
Nur weil die erste Ableitung gleich null ist (waagrechte Tangente), muss es sich aber noch nicht um einen Hochpunkt handeln. Jetzt kann man entweder die zweite Ableitung betrachten und zeigen, dass sie für x=0 negativ ist, oder man betrachtet das Vorzeichen der ersten Ableitung:
f'(x) = -32x / (x²-t)²
Der Nenner ist (abgesehen von den Definitionslücken) immer positiv, und der Zähler ist
positiv für x<0
und
negativ für x>0
Damit muss es sich bei x=0 um einen Hochpunkt handeln, denn die Funktion steigt "links davon" und fällt "rechts davon".
Der Funktionswert am Hochpunkt ist
f(0) = 16 / (-t)
Für t = 4 liegt der Hochpunkt bei
(0 | -4)
Für t=4 vereinfacht sich die Funktion zu
f(x) = 16 / (x²-4)
oder, umgeformt
f(x) = 16 / [(x-2) * (x+2)]
In der Zeichnung sollten die beiden Polstellen, der Hochpunkt und die starke Abflachung nach links und rechts hin erkennbar sein.
ich würde noch die Funktionswerte bei -4, -1, 1 und 4 ausrechnen, das geht recht flott.
Normalengleichung im Punkt x0 (Formelsammlung):
n(x) = f(x0) - (x - x0) / f'(x0)
Diese Gleichung ist genau dann erfüllt, wenn der Punkt
(x | n(x))
auf der Normalen durch x0 liegt.
Setzt man für
(x | n(x))
den Ursprung ein, erhält man
0 = f(x0) + x0 / f'(x0)
bzw. umgeformt (siehe Bemerkung ganz unten)
x0 = -f(x0) * f'(x0)
Für
f(x0) = 16 / (x0² - t)
und
f'(x0) = -32x0 / (x0² - t)²
bedeutet das:
x0 = [-16 / (x0² - t)] * [-32x0 / (x0² - t)²]
Umformen (siehe Bemerkung ganz unten) und mit x0 kürzen:
(x0² - t)³ = 512
Mit
512 = 2^9 = 8³
folgt:
x0² - t = 8
=> x0² = t + 8
Diese Gleichung hat 2 Lösungen, die die x-Werte der gesuchten Punkte liefern, nämlich
x = -sqrt(t+8)
und
x = sqrt(t+8)
Die y-Werte sind identisch, nämlich
f (-sqrt(t+8)) = f (sqrt(t+8)) = 16 / (t+8-t) = 2
D.h. egal welchen Wert t hat und wie die Funktion aussieht, die beiden Punkte P und Q haben immer den y-Wert 2. Ihre x-Werte sind verschieden und hängen von t ab.
Diese Punkte liegen daher alle auf einer waagrechten Geraden mit der Gleichung
y = 2
Bemerkung zu zwei Umformungen:
In einer Prüfung sollte man hier evtl. dazuschreiben, dass (und warum) die variablen Terme, mit denen man die Gleichung multipliziert, nicht Null sein können und man keine Fallunterscheidung braucht.
Im ersten Fall wird die Gleichung mit f'(x0) multipliziert, was nur für x0=0 Null wird. Bei x0=0 ist aber der Hochpunkt, und der ist ausdrücklich ausgenommen.
Beim zweiten Fall wird mit x0 gekürzt (das kann wieder nur am Hochpunkt zu Null werden) und mit (x0² - t)³ multipliziert, was nur an den Polstellen zu Null werden kann (auch die Polstellen sind logischerweise ausgenommen, da die Funktion dort nicht definiert ist logischerweise dort keine Normalen haben kann).
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