Einige Mathematik-Fragen (u.a. Vereinfachungen)

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11.02.2010, 16:43
Expresseon

Einige Mathematik-Fragen (u.a. Vereinfachungen)

Hallo, in etwa einer Woche habe ich meine schriftliche Mathe-Abiturprüfung. Zwar können wir für alle Aufgaben einen GTR mit CAS verwenden, aber beim Üben rechne ich doch lieber alles aus, denn ein paar Dinge muss man auch im Abi mit Rechenweg lösen.

Man wird vielleicht seinen Augen nicht trauen, aber ich verstehe einige Vereinfachungen nicht, die für manche Leute hier bestimmt ein Kinderspiel sind:

a) $\frac{{k^2}-k}{k-1} = k$ (erledigt)

b) $\frac{x-{\frac{k^2}{x}}}{x^2+k^2} = \frac{x^2-k^2}{x(x^2+k^2)}$ (erledigt)

c) $\frac{k-k^2}{\sqrt{k}(k+k^2)} = 0$

Diese drei sind meine Problemkinder.
Bei b) ist beiden das Gleiche, man soll nur den ersten Bruch so schreiben, dass er zu dem auf der rechten Seite wird.
Bei c) muss gezeigt werden, dass der Term 0 ist. Weit bin ich nicht gekommen.

Rechenexperten, helft mir bitte! :)
11.02.2010, 16:58
Zelretch

Bei a) kannst du im Zähler k ausklammern, dann kürzt sich die klammer mit dem Nenner

Bei b) einfach Nenner und Zähler mit x erweitern

c) ~~folgt noch, soferns nicht jemand Anderst macht ^^'~~ Sicher dass die Angaben stimmen? Wenn ich das in meinen Graphischen Taschenrechner als Funktion eingebe, zeigt es mir einen Graphen an, es kann also eig. nicht Null sein.
11.02.2010, 17:13
Expresseon

Das war so einfach, hab ich mir doch gedacht, dass ich mir danach gegen die Stirne klopfe... ;) Danke.

Ich bin inzwischen auch schon beim nächsten Problem angelangt, was auch die obige Frage betrifft.

Bei der Aufgabe geht es die ganze Zeit um diese Funktion: $f(x) = ln(\frac{x}{k}+\frac{k}{x})$

Erste Ableitung: $f'(x)=\frac{x^2-k^2}{x(x^2+k^2)}$

Man soll zunächst zeigen, dass $f'1(\sqrt{k}) + f'k(\sqrt{k}) = 0$
Das erste ist mit Sicherheit 0. Also muss auch das 2. 0 sein. Deshalb meine Frage bei c) oben...
EDIT: Hab ich vielleicht einen Fehler gemacht? Darf ich überhaupt k=1 setzen, im ersten Teil?
Also nochmal zum Verständins: Oben habe ich bei c) in die erste Ableitung für x $\sqrt{k}$ eingesetzt.

Die Aufgabe geht dann weiter:

Man soll die Tangenten von f mit k = 1 und von f mit k = k in $S(\sqrt{k}/...}$ bilden. Diese begrenzen angeblich mit der x-Achse ein Dreieck.
Wegen f'(1) = 0 ist diese Tangente ja waagrecht. Wegen der Aufgabe zuvor muss also auch die 2. Tangente waagrecht sein. Das wird dann aber doch kein Dreieck...
11.02.2010, 17:51
MaxikingWolke22

Zu c: Das kann nur null werden für k=0 oder k=1. So generell wie bei denen oben läuft das nicht.
11.02.2010, 17:54
Expresseon

Aus der Aufgabenstellung geht jedenfalls deutlich hervor, dass die erste Ableitung mit Parameter k an der Stelle $\sqrt{k}$ = 0 sein muss.
Also für jedes k. Ist also die Aufgabe falsch oder was (was ich mir nicht vorstellen kann, denn es ist eine Abituraufgaben von vor ein paar Jahren)?
11.02.2010, 17:59
MaxikingWolke22

also wir reden nicht mehr von c, sondern der jüngsten aufgabe.

die 1. ableitung wird gleich null für k=x, denn dann ist x²-k²=0. für x=k^1/2 haben wir k-k²=0 nur für k, wie oben, 0 oder 1.

man erspart sich, als abiturtipp, eine menge arbeit, indem man nur den zähler null setzt, nicht den nenner. denn 0/a = 0*1/a=0 für alle a. Allerdings musst du bei gebrochenrationalen Funktionen noch den Zähler überprüfen, um zu sehen, ob der vielleicht auch null wird, dann hast du keine nullstelle, sondern eine hebbare Lücke.
11.02.2010, 18:08
Expresseon

Ja das habe ich ja gemacht. Der Zähler heit x² - k².
$f'(\sqrt{k})$ mit k = 1 muss ausgerechnet werden.
Also wird der Zähler k - k². Wenn ich den Wert 1 einsetze, wird das 0.

Edit: Also ich verstehe, dass der Zähler nur für k = 0 oder k = 1 0 wird. Aber k = 1 gilt ja laut Aufgabenstellung. Nochmal meine Frage: Darf ich, nach dem ich x = k^0,5 eingesetzt habe, dort für k auch die 1 einsetzen, oder nicht?
11.02.2010, 22:36
Sylverthas

Hallo,

also, mir zumindest erscheint diese Aufgabe etwas suspekt ^^
Aber mal eine Frage - was heißt bei Dir http://www.multimediaxis.de/cgi-bin/...%7Bk%7D/...%7D? Ist das hier eine Menge, aus der k gewählt werden darf?

Eventuell wäre es ganz hilfreich, wenn Du die Aufgabe, möglichst exakt, so abschreibst, wie sie dasteht, weil das ganze so, zumindest für mich, nicht zu viel Sinn ergibt.

Gerade die Gleichung mit den 1. Ableitungen ist allgemein falsch (wie hier ja schon angegeben), und die eine Lösung gibt Dir eine Tangente an x = 1 (mit Steigung 0^^), wohingegen k=0=x für f unzulässig ist.

Kann es sein, dass Du das Dreieck in Abhängigkeit von k bestimmen sollst (für k=/= 0,1)?
12.02.2010, 12:20
Expresseon

Hier ist die Aufgabe:

http://npshare.de/files/8fc5afe7/aufgabe.png

Aufgabe 1 ist vollständig klar.

Aufgabe 2 wirft mir die ganzen Fragen auf.
12.02.2010, 14:06
Sylverthas

Ah, ok... ich würde sagen, die Aufgabe ist missverständlich (falsch) formuliert.

Also, was Du (vermutlich) tun sollst ist folgendes:
Du setzt erst k=1 ein, und erhälst dann die Funktion:
f'(x,1) = (x^2-1) / (x (x^2+1))
Hier setzt Du nun sqrt(k) (also die Wurzel von k - wie kann man hier LaTex-Code einfügen? xD) ein - dieses k ist ein *anderes* k - also nennen wir das erstmal j (zumindest habe ich es so verstanden, weil die Gleichung sonst einfach falsch wäre - und ich denke, hier hat das Buch vermutlich einen Fehler gemacht, indem man die beiden k nicht getrennt hat - solche Indexfehler kommen öfter vor).
Dann erhälst Du:
f'(sqrt(j),1) = (j-1) / (sqrt(j) (j+1))

Wiederholst Du den Prozess für k=j, statt k=1 und setzt wieder x=sqrt(j), so ergibt dies:
f'(sqrt(j),j) = - (j-1) / (sqrt(j) (j+1))

Wie man leicht sieht, ist das gerade das Negative der obigen Gleichung, und damit ist a) gelöst.

Für b) kannst Du jetzt verwenden, dass die Tangenten jeweils ein umgedrehtes Vorzeichen haben, dass heißt die eine Tangente ist fallend, die andere steigend - und das bildet ein Dreieck mit der x-Achse.
12.02.2010, 14:17
Expresseon

Also doch, das war ja die ganze Zeit meine Frage. Bei dem k unter der Wurzel darf ich keine 1 einsetzen!

LaTex-Code mit TEX in []-Klammern.

ALso stimmt das jetzt so:

$\frac{k-1}{\sqrt{k}(k+1)} + \frac{k-k^2}{\sqrt{k}(k+k^2)} = 0$

WIe vereinfache ich das dann?

PS: Das ganze ist trotzdem seltsam. Das war eine Aufgabe beim Abitur vor ein paar Jahren, solche Fehler können die da doch nicht machen.
12.02.2010, 15:12
Sylverthas

Du vereinfachst das, in dem Du auf der rechten Seite jeweils im Zähler und Nenner k ausklammerst und kürzt - dann hast du das Ergebnis stehen (also 0).

Genauer: k-k^2 = k(1-k) und k+k^2 = k(1+k), dann k kürzen.
dann hast Du auf der rechten Seite im Zähler:
1-k = -(k-1)

Edit: Oh, sorry, Schreibfehler, vielen Dank ^^
12.02.2010, 15:30
MaxikingWolke22

Zitat:

Zitat von Sylverthas

Genauer: k-k^2 = k(1-k) und k+k^2 = k(1+k^2), dann k kürzen.

Anmerkung: Wenn man das k aus k+k² ausklammert, erhält man k(1+k), nicht k(1+k²).
13.02.2010, 16:03
YoshiGreen

Anderes k? j? Trennen? Mal ganz langsam:

Zeit sparen: Versuche allgemeine Schritte zu machen:
$f_k(x) = \ln\left(\frac{x}{k}+ \frac{k}{x}\right)$
Ganz in Ruhe die Ableitung bilden:
$f^'_k(x)= \frac{1}{\frac{x}{k}+ \frac{k}{x}}\cdot\left(\frac{x}{k}+ \frac{k}{x}\right)^'\\f^'_k(x)= \frac{1}{\frac{x^2+k^2}{xk}}\cdot\left(\frac{1}{k}+ \frac{-k}{x^2}\right)\\f^'_k(x)= \frac{xk}{x^2+k^2}\cdot\left(\frac{x^2-k^2}{kx^2}\right)\\f^'_k(x)= \frac{xk(x^2-k^2)}{kx^2(x^2+k^2)}\\f^'_k(x)= \frac{(x^2-k^2)}{x(x^2+k^2)}$

Puh! Aber wenigstens haben wir nun $f^'_k$ , fehlt nur noch $f^'_1(x)$ . Zum Glück müssen wir das nur noch einsetzen:
$f^'_1(x) = \frac{(x^2-1^2)}{x(x^2+1^2)}\\f^'_1(x) = \frac{(x^2-1)}{x(x^2+1)}\\$ .

Laut Aufgabe soll nun gelten $f^'_1(x_s)+f^'_k(x_s) =0$ mit $x_s = \sqrt{k}$ . Gut das Einsetzen hast du dann ja übernommen. Ich will damit zeigen, dass man mit vergleichsweise wenig Rechenaufwand direkt zum Ziel kommt ohne unschuldige k in j zu verwandeln.

Wie schon geschrieben kannst du beim zweiten Summanden ein k Ausklammern, kürzen und dich übers Ergebnis freuen. Als Bonus kannst du aber auch schon vorher die ganze Gleichung mit $\sqrt{k}$ multiplizieren damit die Wurzeln im Nenner wegfallen. (Die andere Seite der Gleichung bleibt davon ja unberührt).

Zitat:

Für b) kannst Du jetzt verwenden, dass die Tangenten jeweils ein umgedrehtes Vorzeichen haben, dass heißt die eine Tangente ist fallend, die andere steigend - und das bildet ein Dreieck mit der x-Achse.

Frage falsch verstanden. 0 Punkte. :(
Auch 2 Geraden mit postiver/negativer Steigung können ein Dreieck bilden. Die Frage ist warum ist genau dieses Dreieck gleichschenklig?
In a) hast du ja gezeigt, dass die absolut Beträge der Ableitungen an der Stelle x_s gleich sind, nur die Vorzeichen unterschiedlich. Was genau sagt nochmal der Wert der Ableitung. ""Wie weit"" haben es beide Graphen noch zur x-Achse und welche ist ""schneller""? Klar worauf ich hinaus will?
13.02.2010, 16:31
Sylverthas

Zitat:

Zitat von YoshiGreen

Frage falsch verstanden. 0 Punkte. :(
Auch 2 Geraden mit postiver/negativer Steigung können ein Dreieck bilden. Die Frage ist warum ist genau dieses Dreieck gleichschenklig?
In a) hast du ja gezeigt, dass die absolut Beträge der Ableitungen an der Stelle x_s gleich sind, nur die Vorzeichen unterschiedlich. Was genau sagt nochmal der Wert der Ableitung. ""Wie weit"" haben es beide Graphen noch zur x-Achse und welche ist ""schneller""? Klar worauf ich hinaus will?

Natürlich können auch 2 Gerade mit gleichem Vorzeichen mit der x-Achse und ihrem Schnittpunkt ein Dreieck bilden, aber das ist ja nicht der Fall in dieser Aufgabe - und die Tatsache, dass das eine die negative Steigund des anderen ist, ist ja hier relevant für die Aufgabe ;)
(keine Sorge, ich habe die Aufgabe schon richtig verstanden xD).

So, nun, was ich mit dem Trennen der Variablen gesagt habe:
Du satzt in $f_k (x)$ ja zunächst mal k=1;
Nun setzt du aber $x_S =\sqrt{k}$ ein, was aber für k=1 nun gerade 1 wäre - in der vorigen Aufgabe wurde für die Schnittstelle aber gerade k ungleich 1 gewählt - daher ist hier soweit ich das sehe schon ein Problem mit den Variablen; man kann nicht eine Variable setzen, und dann alle gleichnamigen einfach "ungesetzt" lassen ^^

Vielleicht konnte ich das jetzt besser erklären, wo ich das Problem sehe (und wieso ich das j da eingeführt hab^^)
13.02.2010, 16:33
YoshiGreen

Vielleicht verstanden aber nicht beantwortet :)

Ok, ich sehe wo ein Problem auftauchen könnte. Geht man jedoch strukturiert vor, sollte man eigentlich nicht auf die Idee kommen diese Variable umzusetzen.
13.02.2010, 16:35
Sylverthas

Ach, ein wenig muss man die Leute doch auch denken lassen :D

edit: Und ja, das stimmt schon - aber hier wurde es ja unter Anderem versucht^^
Und mathematisch korrekt erscheint es mir sowieso nicht xD
14.02.2010, 13:12
Expresseon

Hallo, ich habe wieder mal eine Frage.

Wie kann man gebrochenrationale Funktionen möglichst trickreich umschreiben, um schneller die Asymptoten zu sehen?

Beispiel: $\frac{x^2}{x^2+16}$

Habe ich geändert in: $\frac{x^2+16-16}{x^2+16} = 1-\frac{16}{x^2+16}$

Jetzt sieht man schnell, dass bei 1 eine waagrechte Asymptote vorliegt weil der BVruch > 0 ist. Man sieht auch, dass es keine senkrechten Asymptoten gibt, aber das sah man ja schon vorher.

Kann man diesen Trick oder andere irgendwie an diesem Beispiel anwenden: $\frac{x^3}{x^2-4}$ ?
14.02.2010, 13:19
MaxikingWolke22

einfach alles durch x teilen, bis man die exponenten so niedrig wie möglich und sinnvoll hat:

für x->inf haben wir f(x)=x/(1-4/x²), also alles durch x² geteilt. man sieht, dass 4/x² für x-> infinity gegen null gehen muss, also ist die asymptote etwa x/1 = x
14.02.2010, 13:29
Expresseon

Also eine schiefe Asymptote y=x? Das würde die punktsymmetrische Funktion schneiden (bzw. sie teilen weil bei x=0 eine Lücke ist)??
14.02.2010, 13:56
eoc

Das Schneiden von Asymptoten und Funktion (bzw. Graph der Funktion) ist lokal kein Problem, da sie ja lediglich die Konvergenz gegen Unendlich beschreiben (bzw. das in der Schule garantiert ausschließlich tun) - die Asymptote $x$ ist korrekt. Und bei $x_0=0$ ist mit $f(x_0)=\frac{0}{-4}=0$ auch keine Definitions- oder sonstige Lücke :confused:
14.02.2010, 14:08
Expresseon

Ja die Lücke entsteht aber, wenn man durch x² teilt.
Wie soll ich jetzt diese Asymptote y=x verstehen? Die Funktion strebt doch gar nicht gegen diese Gerade.
14.02.2010, 15:18
.matze

Zitat:

Zitat von Expresseon

Ja die Lücke entsteht aber, wenn man durch x² teilt.
Wie soll ich jetzt diese Asymptote y=x verstehen? Die Funktion strebt doch gar nicht gegen diese Gerade.

Bei 0 ist keine Definitionslücke, sondern bei 2 und -2, da man wenn (x^2-4)=0 ist nicht teilen darf.

http://npshare.de/files/0603baad/schaubilder.png
14.02.2010, 15:23
Expresseon

Wenn ich die Funktion zeichne gibt es aber gar nichts für x>+/-2.
14.02.2010, 18:19
.matze

Zitat:

Zitat von Expresseon

Wenn ich die Funktion zeichne gibt es aber gar nichts für x>+/-2.

Dann setz doch mal drei ein (3^3/(3^2-4)=5,4) und du siehst, das du wenn du keine Werte für x>2 kriegst was falsch gemacht haben musst.
14.02.2010, 18:37
Zelretch

Zitat:

Zitat von Expresseon

Ja die Lücke entsteht aber, wenn man durch x² teilt.
Wie soll ich jetzt diese Asymptote y=x verstehen? Die Funktion strebt doch gar nicht gegen diese Gerade.

Doch, das wird wohl ein Eingabefehler sein ;)

Das blaue auf .matze's Graph ist die Funktion y=x und das schwarze die Kurve für http://www.multimediaxis.de/cgi-bin/...ac{x^3}{x^2-4}. Wie du sehen kannst nähert sich die Kurve immer mehr der Funktion y=x umso weiter man nach Rechts/Links im Graphen geht. Also ist y=x die Schiefe Asymptote für diese Gebrochen Rationale Funktion.
14.02.2010, 18:39
MaxikingWolke22

Zitat:

Zitat von Expresseon

Also eine schiefe Asymptote y=x? Das würde die punktsymmetrische Funktion schneiden (bzw. sie teilen weil bei x=0 eine Lücke ist)??

Zitat:

Zitat von Expresseon

Ja die Lücke entsteht aber, wenn man durch x² teilt.
Wie soll ich jetzt diese Asymptote y=x verstehen? Die Funktion strebt doch gar nicht gegen diese Gerade.

1. Bei null ist keine Lücke, sondern eine einfache Nullstelle. Es ergibt sich auch keine Lücke! Da kann geteilt werden, was man will:
$\frac{x^3}{x^2-4}=\frac{x}{1-\frac{4}{x^2}}\forall x\neq 0, glaube ich.$

2. Die Asymptote versteht sich beinahe von selbst. Je größer die Funktionswerte absolut werden, desto näher gehen sie an die Asymptote ran. Salopp gesagt: Wenn man für x +-Infinity einsetzt, hat man Infinity³/(Infinity²-4), und weil die vier bei Infinity den Braten auch nicht fett machen, einfach Infinity³/Infinity². Wie gesagt, salopp gesagt. Wir setzen eigentlich erst a oder sowas ein, kürzen entsprechend und lassen dann a gegen infinity laufen.
14.02.2010, 20:06
Expresseon

$\frac{4x^2}{2x^2+1}$

Also diese Funktion hat dann aus den obigen Gründen die waagrechte Asymptote 2, oder?
Ist dann die Polstelle bei 0? Weil der Zähler wird für x=0 ja 0.
14.02.2010, 20:25
Drakes

Zitat:

Zitat von Expresseon

$\frac{4x^2}{2x^2+1}$

Also diese Funktion hat dann aus den obigen Gründen die waagrechte Asymptote 2, oder?
Ist dann die Polstelle bei 0? Weil der Zähler wird für x=0 ja 0.

Die Polstelle ist bei der Definitionslücke. Eine Definitionslücke entspricht dem Fall durch 0 zu dividieren. Daher ist der Nenner bei der Polstelle gleich 0.
$2x^2 + 1 = 0$
$x^2 =-\frac{1}{2}$

$x=\frac{1}{2} i$
Lösung ist komplex daher gibts, im reelen Zahlenraum keine Polstelle.
14.02.2010, 21:15
MaxikingWolke22

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Ich darf mal die folgende Datei anhängen, die ich selbst als Abiturvorbereitung erstellte. Dir scheinen ja Grundlagen zu fehlen; sogar die Definition von Polstelle und elementare Bruchrechenregeln... Ich hoffe sehr, es hilft. Viel Glück.Weiterverbreiten ohne Zustimmung verboten.
15.02.2010, 12:55
Sylverthas

Wow, Respekt, da haste Dir aber wirklich extrem viel Mühe gegeben bei Deiner Abi-Vorbereitung.
Glaube, ich hatte damals ~1 Blatt (beidseitig^^) pro Themengebiet auf DinA-4 gekritzelt xD
02.03.2010, 17:35
Lloyd.

hey,

sry ist vielleicht der falsche thread, aber ich verzweifle langsam an dieser aufgabe, die aber wahrscheinlich gar nicht so schwierig ist wie ich es mir mache :

Um 28 000 Teile zu stanzen benötigt eine Firma bei Einsatz von 15 Maschinen 10 Arbeitstage.

Wie viele Arbeitstage sind notwendig, um weitere 62 208 Stück des gleichen Teiles zu stanzen, wenn drei zusätzliche Maschinen eingesetzt werden ?

Schonmal vielen Dank für eure Hilfe :)
02.03.2010, 18:00
MaxikingWolke22

Wir wissen:

15 Maschinen brauchen 10 tage für etwa 28000.
Eine würde also 150 Tage brauchen. (15*10)
Für 90208 Teile bräuchte sie dann etwa 483,25 Tage. (150*90208/28000)
Dafür bräuchten dann achtzehn etwa 26,84 Tage. (483/18)