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Dann musst du logischerweise zuerst das Formular abfragen, und dann erst das Entsprechende ausgeben.

PHP-Code:

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<?php
    if (isset ($_POST['username']) &&
            isset ($_POST['password']) &&
            login_right ($_POST['username'], $_POST['password'])) {
        echo 'Willkommen im Adminbereich';
    }
    else {
        if (isset ($_POST['username']) && isset ($_POST['password']))
            echo 'Login ungültig';
        $pw = '<form method="post" action="index.php">';
        $pw.= '<input type="text" name="username">';
        $pw.= '<input type="password" name="password">';
        $pw.= '<input type="submit">';
        $pw.= '</form>';
        echo $pw;
    }
?>

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Die Funktionsdefinition habe ich ausgelassen, die ist ja eh klar.