[Mathe]Fragen zur pq Formel

Hey,

meine Mathelehrerin hat mir heute ein paar Aufgaben zur pq Formel gegeben,
bei denen ich aber praktísch gar nicht durchblicke.

ich hatte die aufgaben schonmal gemacht, da waren sie aber falsch.
die pq formel kann ich auch, es hapert halt an der umsetzung.

naja, hier sind mal die aufgaben :

x²-0,5x-0,5=0

-1,25=-1/4x² + x

-10x = 12x²-12

wäre echt nett, wenn mir das mal jemand an den aufgaben erklären könnte^^

Bevor ich auf die Aufgaben gehen nochmal kurz zur Sicherstellung die Vorraussetzung für die Formel:

Benötigte Form der Funktion: 0 = x^2 + p*x + q
pq-Formel: -p/2 +- sqrt[ (p/2)^2 - q ]

Die erste Aufgabe ist schön, den hier wird die Funktion direkt in der benötigten Form angegeben, alles was bleibt ist Ablesen und Einsetzen.
p = -1/2 und q = -1/2

x1,2 = 1/4 +- sqrt[ 1/16 + 8/16 ]
=> 1/4 +- sqrt[ 9/16 ]
=> 1/4 +- 3/4
x1 = 1 und x2 = -1/2

Bei der pq-Formel bietet es sich an mit Brüchten zu arbeiten, weil man dann die Wurzel auch ohne Taschenrechner ziehen kann. Im ersten Schritt habe ich, besonders in der Wurzel, einige Rechenschritte direkt gemacht, aber ich hoffe es bleibt nachvollziehbar.

Die zweite Aufgabe braucht jetzt etwas mehr Arbeit.
-5/4 = -1/4*x^2 + x

Zu aller erst brauchen wir auf einer Seite des Gleichheitszeichens eine Null, also bringen wir dafür die 5/4 auf die andere Seite.
0 = -1/4*x^2 + x + 5/4

Einziger Dorn im Auge ist jetzt noch der Faktor -1/4 vor dem x^2, den können wir allerdings ganz leicht "entfernen", in dem wir die ganze Gleichung mit -4 multiplizieren.
0 = x^2 - 4x - 5

Nun erfolgt wieder das Einsetzen in die eigentliche pq-Formel mit p = -4 und q = -5.

x1,2 = 2 +- sqrt[ 4 + 5 ]
=> 2 +- sqrt[ 9 ]
=> 2 +- 3
x1 = 5 und x2 = -1

Die letzte Aufgabe ist jetzt quasi eine 1 zu 1 Umsetzung der zweiten, deshalb empfehle ich dir nochmal selber zu versuchen, zur Kontrolle packe ich dir allerdings die Rechnung in einen Spoiler.

-10x = 12x²-12
=> 12*x^2 + 10*x - 12
=> x^2 + 10/12*x - 1

p = 10/12
q = -1

x1,2 = -10/24 +- sqrt[ 100/576 + 1 ]
=> -10/24 +- sqrt[ 676/576 ]
=> -5/12 +- 13/12
x1 = 8/12 und x2 = -18/12

Das Schwierigste an dieser Aufgabe, finde ich, war das Ziehen der Wurzel, allerdings hilft in diesem Fall der Taschenrechner natürlich ungemein und wandelt auch die ursprünglich periodische Dezimalzahl wieder in einen handlichen Bruch um für genaue Ergebnisse.

Zitat:

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Zitat von Italian Dream

x²-0,5x-0,5=0

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Naja, hier ist das ja simples Einsetzen in die Formel, weil x² schon alleine steht und die Gleichung 0 ergibt. Also

x 1/2 = (-p÷2) ± √[(p²÷4)-q]
= 0.25 ± √(0.0625+0.5)
= 0.25 ± √(0.5625)
= 0.25 ± 0.75
x1 = 1
x2 = (-0.5)

Probe:
(-0.5)² + 0.25 - 0.5 = 0 r
1² - 0.5 - 0.5 = 0 r

L = {1 ; (-0.5)}

Zitat:

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Zitat von Italian Dream

-1,25=-1/4x² + x

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Erstmal auf simples x² bringen, danach nullen und einsetzen:

-1,25=-1/4x² + x | ∙(-4)
5 = x² - 4x | -5
0 = x² - 4x - 5

x 1/2 = (-p÷2) ± √[(p²÷4)-q]
= 2 ± √(4 - (-5) )
= 2 ± √(9)
= 2 ± 3
x1 = 5
x2 = (-1)

Probe:
5² - 20 - 5 = 0 r
(-1)² + 4 - 5 = 0 r

L = {5 ; (-1)}

Zitat:

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Zitat von Italian Dream

-10x = 12x²-12

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Genau wie oben - Erstmal auf simples x² bringen, danach nullen und einsetzen:

-10x = 12x²-12 | ÷ 12
(-10/12)x = x² - 1 | - (-10/12)x
0 = x² - (-10/12)x - 1

x 1/2 = (-p÷2) ± √[(p²÷4)-q]
= (-5/12) ± √( (25/144) - (-1) )
= (-5/12) ± √(169/144)
= (-5/12) ± (13/12)
x1 = (2/3)
x2 = (-3/2)

*edit*
arrgh :p
Naja, ich habs eher mit geordneten Rechenschritten, weshalb das länger gedauert hat ;)
*e²*
>_< danke! So kann man sich auch was versauen... zu schnell getippt. SRY!

Zitat:

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Zitat von eoc

x1 = 1
x2 = 0.5

Probe:
0.5² - 0.25 - 0.5 = -0.5 f
1² - 0.5 - 0.5 = 0 r

L = {1}

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Die zweite Lösung ergibt 0,25-0,75=-0,5. Damit ergibt sich in der Probe auch wieder eine wahre Aussage.

Zitat:

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Zitat von eoc

x 1/2 = (-p÷2) ± √[(p²÷4)-q]
= (5/12) ± √( (25/144) - (-1) )

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p ist auch hier wegen 3 mal "minus" negativ. Dann ergeben sich die von Pazzi genannten Lösungen.

Gruß caius

ähm welche lösungen sind jetzt richtig :confused: :confused:

Die von Pazzi in seinem Post beschriebenen.

Gruß caius

daraus werde ich nicht schlau irgendwie...:(

Also, Pazzi hat's eigentlich exakt und verständlich beschrieben.
So schwer ist das mit der pq-Formel auch nicht, weil das immer das selbe Schema ist. Hast 'ne quadratische Funktion, setzt die 0 und gehst dann genau nach der Formel vor.
Allerdings ist das mittels Internet immer etwas schwierig schriftlich zu "erklären" ;) Wie wär's, wenn du einfach mal welche aus deiner Klasse fragst?

Edit: Was verstehst du noch nicht?

ja aber ich muss das morgen abgeben und die aus meiner klasse wohnen nicht in meiner nähe.

was bedeutet "sqrt" ?

btw. kannst du die aufgaben evtl mal so schrieben,ohne erklärungen dazwischen und wi man es evtl von hand auch so schrieben könnte, ich glaub da blick ich eher durch

Zitat:

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Zitat von Italian Dream

was bedeutet "sqrt" ?

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Das heißt "Wurzel" ;)

Zitat:

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Zitat von Italian Dream

btw. kannst du die aufgaben evtl mal so schrieben,ohne erklärungen dazwischen und wi man es evtl von hand auch so schrieben könnte, ich glaub da blick ich eher durch

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Ich editier's dann rein ;)

Aufgabe 1)

x² - 0,5x - 0,5 = 0

x1/2 = 0,25 +- Wurzel aus 9/16
x1/2 = 0,25 +- 0,75
x1 = 1
x2 = -0,5


Aufgabe 2)

-1,25 = -1/4x² + x | + 1,25

-1/4x² + x + 1,25 = 0 | : (-1/4)
x² - 4x -5 = 0
x1/2 = 2 +- Wurzel aus 9
x1/2 = 2 +- 3
x1 = 5
x2 = -1


Aufgabe 3)

-10x = 12x² - 12 | + 10x

12x² + 10x - 12 = 0 | : 12
x² + 5/6x - 1 = 0
x1/2 = - 5/12 +- Wurzel aus 169/144
x1/2 = - 5/12 +- 13/12
x1 = 2/3
x2 = - 3/2

Hinweis: Pazzis Lösung sieht deshalb anders aus, weil er nicht gekürzt hatte ;)

Wenn du noch Fragen hast, frag ruhig ;)
Und wenn du's noch ausführlicher brauchst, dann mach' ich's auch noch ausführlicher :D

Zitat:

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Zitat von zuffel

x1 = 2/3
x2 = - 3/2

(...) Ich kann an meiner Rechnung keinen finden.

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Wir haben auch das gleiche raus :D

x1 = 8/12 (gekürzt: 2/3)
x2 = -18/12 (gekürzt: -3/2)

Wie du sicher gesehen hast, ist mir der Bruch in meiner Wurzel etwas explodiert und deshalb war ich dann schon zufrieden, dass ich am Ende doch noch 12tel hatte und hab's dabei belassen ^^

Zitat:

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Zitat von Pazzi

Wir haben auch das gleiche raus :D

x1 = 8/12 (gekürzt: 2/3)
x2 = -18/12 (gekürzt: -3/2)

Wie du sicher gesehen hast, ist mir der Bruch in meiner Wurzel etwas explodiert und deshalb war ich dann schon zufrieden, dass ich am Ende doch noch 12tel hatte und hab's dabei belassen ^^

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Japp, ich wurde gerade von Tomberry darauf hingewiesen, dass du nicht gekürzt hattest. Ich hab' hier alles nochmal durchgerechnet und überlegt und hab' an das Einfachste nicht gedacht :D

sorry aber du wirst doch so viele Hilfe im Internet finden... da gibts echt gute Hilfen, google einfach mal PQ Formel:

pqformel.de z.B. oder eben Wikipedia.

Viel Erfolg!

Zitat:

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Zitat von martinweicker

sorry aber du wirst doch so viele Hilfe im Internet finden... da gibts echt gute Hilfen, google einfach mal PQ Formel:

pqformel.de z.B. oder eben Wikipedia.

Viel Erfolg!

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Das Problem ist fast schon vier Jahre her und wurde hinreichend beantwortet. Antworte doch auf aktuellere Threads ;)
Und da es hier keinen Moderator gibt, mach ich hier einfach mal zu.