Frage zu Differentialgleichungen
wie kommen die denn hier auf das ergebnis:
In einem Teich können maximal 1000 Fische leben.Am Anfang sind 5 Pärchen am Start.Diese vermehren sich pro Jahr so das die Wachstumsrate 10% des Unterschieds zwischen der Obergrenze 1000 und dem aktuellen Bestand beträgt.
Geben sie die Funktion an die den aktuellen Fischbestand beschreibt.
Meine Rechnung:
f'(t) = 0,1 ( 1000 - f(t) )
ich könnte zwar noch ein bisschen weiter machen dann komme ich aber nicht auf die lösung:
f'(t) = 0,1 ( 1000 - f(t) ) <versteh ich
f'(t) = -0,1f(t) + 100 <versteh ich
fk(t) = k*e ^ -0,1t + 1000 <versteh ich nicht
fk(0) = k + 1000 = 10 -->k = -990 <würd ich verstehen,würde ich das davor verstehen...
f(t) = 1000 - 990e^-0,1t < ???
das ist die lösung wie sie hier steht.der weg wird nicht erklärt.
bisher haben wir nur seperation als lösungsmethode besprochen (und noch produkt,kettenregel).
angenommen ich will f"(t) und f(t) auf eine seite bringen
würde ich f'(t) = -0,1f(t) + 100 durch (-0,1f(t)) teilen und dann wieder mal -0,1 nehmen.
dann stammfunktion und "hoch e nehmen" gibt:
f(x) = k*e^ -10t
das ist aber falsch -.-
