Extrema/reale Anwendung + Brüche (Mathe Kl. 11)

Unsere neue Mathehausaufgaben bringt mich gerade an den Rand des Wahnsinns. Ich stelle erstmal kurz due Aufhgabe dar, dann die Rechnungen die ich angestellt habe und zum Schluß noch n kleiner Text =)

5a) Welche zylindrische Dose mit dem Oberflächeninhalt 1dm² hat das größte Volumen

Und das meine Rechnungen - ich habe zwei unterschiedliche Wege probiert:
(BTW: Π ist laut Zeichentabelle Pi)

[font=Arial Narrow]Ausgangsformeln:[/font]
[font=Arial Narrow]V = Πr²h = max.[/font]
[font=Arial Narrow]O = 2Πrh + 2Πr² = 1dm²[/font]

[font=Arial Narrow]1. Weg[/font]
[font=Arial Narrow]1 = 2Πrh + 2Πr² |:2Πr[/font]
[font=Arial Narrow]0,5Πr = h+r | -r[/font]
[font=Arial Narrow]h = 0,5Πr-r[/font]

[font=Arial Narrow]----[/font]

[font=Arial Narrow]V = Πr²(0,5Πr-r)[/font]
[font=Arial Narrow]V = 0,5Π²r³ - Πr³[/font]

[font=Arial Narrow][/font]
[font=Arial Narrow]V (r) = 0,5Π²r³ - Πr³[/font]
[font=Arial Narrow]V' (r) = 1,5Π²r² - 3Πr²[/font]
[font=Arial Narrow]V''(r) = 3Π²r - 6Πr[/font]

[font=Arial Narrow]----[/font]

[font=Arial Narrow]0 = 1,5²r²-3Πr² | /1,5[/font]
[font=Arial Narrow]0 = Π²r² - 2Πr² | /Π[/font]
[font=Arial Narrow]0 = Πr² - 2r²[/font]
[font=Arial Narrow]0 = (-2)r²[/font]

[font=Arial Narrow]------------------------[/font]
[font=Arial Narrow]2. Weg[/font]
[font=Arial Narrow]1 = 2Πr² + 2Πrh |- 2Πr²[/font]
[font=Arial Narrow]1-2Πr² = 2Πrh | /2Πr[/font]

[font=Arial Narrow]h= 1/2Πr-r[/font]

[font=Arial Narrow]----[/font]
[font=Arial Narrow]V = Πr²(1/2Πr-r)[/font]
[font=Arial Narrow]V = r²(Π/2Πr-Πr)[/font]
[font=Arial Narrow]V = Πr²/2Πr - Πr³[/font]

[font=Arial Narrow][/font]
[font=Arial Narrow]V (r)= Πr²/2Πr - Πr³[/font]
[font=Arial Narrow]V' (r)=-3Πr²[/font]
[font=Arial Narrow]V''(r)=-6Πr[/font]

[font=Arial Narrow]----[/font]

[font=Arial Narrow]0 = -3Πr² |/-3Πr[/font]


Wie ihr seht, komme ich immer wieder auf das Ergebnis r = 0. ich vermute, dass ich ganz am Anfang bei der Oberflächengleichung irgendwo einen Fehler gemacht habe. Ich bin nich so wirklich fit mit Brüchen, kann selbst aber nichts finden - aber richtig ist das auch nicht ;p

Sind ein paar Rechenfehler drin. Gehen wir's mal durch:

Zitat:

---

Ausgangsformeln:
V = Πr²h = max.
O = 2Πrh + 2Πr² = 1dm²

1. Weg
1 = 2Πrh + 2Πr² |:2Πr
0,5/Πr = h+r | -r <- Da fehlte ein Bruchstrich... wenn du r noch auf die linke Seite bringst, kommst du auch bei deinem 2. Weg an
h = 0,5Πr-r

----

V = Πr²(0,5Πr-r)
V = 0,5Π²r³ - Πr³


V (r) = 0,5Π²r³ - Πr³
V' (r) = 1,5Π²r² - 3Πr²
V''(r) = 3Π²r - 6Πr

----

0 = 1,5²r²-3Πr² | /1,5
0 = Π²r² - 2Πr² | /Π
0 = Πr² - 2r²
0 = (-2)r²

---

Der Rest ist abgesehen von der letzten Zeile zumindest rechnerisch richtig, bringt uns aber natürlich nicht weiter.

Zitat:

---

2. Weg
1 = 2Πr² + 2Πrh |- 2Πr²
1-2Πr² = 2Πrh | /2Πr

h= 1/2Πr - r

----
V = Πr²(1/2Πr-r)
V = r²(Π/2Πr-Πr)
V = Πr²/2Πr - Πr³

Soweit alles richtig, aber mal was von Kürzen gehört? ;)
Der erste Bruch lässt sich auf r/2 vereinfachen.
Also: V(r) = r/2 - Πr³

V (r)= Πr²/2Πr - Πr³
V' (r)=-3Πr² <- Da hast du die Ableitung des ersten Bruchs vergessen; 1/2 bleibt übrig
V''(r)=-6Πr

Die 1. Ableitung wäre V'(r) = 1/2 - 3Πr², die 2. stimmt wieder

----

0 = 1/2 - 3Πr² | +3Πr²
3Πr² = 1/2 | /3Π
r² = 1/6Π | Wurzel ziehen
r = +-1/√6Π

Für 1/√6Π ist dann auch die 2. Ableitung <0 (Maximum).
Für die Höhe h= 1/2Πr - r ergibt sich: h= (√6Π / 2Π ) - 1/√6Π = (3√6Π / 6Π ) - (√6Π / 6Π ) [den ersten Bruch mit 3 erweitern, den zweiten mit √6Π ]
h = 2√6Π / 6Π = √6Π / 3Π

---

Kein schönes Ergebnis, müsste aber stimmen; die Oberfläche passt auch.

Den richtigen Ansatz (Oberfläche nach h auflösen, in V einsetzen und Maximum bestimmen) hattest du ja, aber Bruchrechnung solltest du nochmal üben. ;)

Erstmal sry, für die später Antwort aber ich war auch die letzten Tage kaum online und musste erstmal das hier nochmal durchkauen ;)

Zitat:

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Zitat von Laughlyn

0,5/Πr = h+r | -r <- Da fehlte ein Bruchstrich...

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Nene, das meinte ich so wie ich es schrieb. Dachte irgendwie, dass man 1/2Πr auf 0,5Πr kürzen kann. -_-
D.h. kann man ja eigentlich auch, aber nicht wenn man 2Πr als festen Wert also in () einsetzt! ;)

Bei den Ableitungen war ich mir dann mit dem Kürzen irgendwie gar nicht mehr sicher und vielen Dank, dass du mir mit dem Vereinfachern zum Ende nochmal gezeigt hast.

Das der Weg richtig war, ist mir auch klar gewesen (mit sowas langweilt uns der Leher seit ein paar Wochen) aber meine Bruchrechnung ist wohl doch noch etwas *holprig*
Jetzt haben wir das selbe nur Umgedreht, Volumen vorgegeben und Oberfläche soll minimal sein, ist aber kein Problem - habs in paar Minuten erledigt =)

Nochmals vielen Dank! ^.^