[Mathe] Induktion

So,

heute Mathe-Klausur Versuch nummero zwei (von drei Möglichen) gnadenlos in den Sand gesetzt. Das fing schon allein bei der Induktionsaufgabe an, wo man sich den Term, der sonst locker lässig gegeben war, anhand eines Textes aus den Fingern saugen musste:

"Zeigen sie: die ersten n ungeraden Zahlen der Summe ergeben immer ein Quadrat. Beweisen sie dies mit vollständiger Induktion."

Klingt im ersten Moment ganz einfach. Induktionsvoraussetzung, Induktionsanfang und der Induktionsschritt sind sonst kein Problem für mich, hier scheiterte ich aber leider an der kompletten Aufgabe, da ich nichtmal die Gleichung hinbekommen hab.

Die Gleichung (und auch, wie ich danach erfahren hab, die richtige Lösung) lautet:
Summe von k=0 bis n -> 2k + 1 = (n + 1)²

Ich hatte diese Gleichung schon auf dem Aufgabenblatt stehen, weil ich irgendwie im Gespür hatte, dass die stimmen musste, ich konnt's aber auf Teufel komm raus nicht beweisen:

Induktionsanfang: setzen wir mal null ein und wir erhalten 2 * 0 + 1 = (0 + 1)² das ergibt 1 = 1. Ist richtig, kein Problem. Wollte schon mit dem Induktionsschritt weitermachen, da ich den Induktionsanfang als abgeschlossen betrachtet hab, als ich mich entschlossen hab zu überprüfen, ob meine Gleichung stimmt, dadurch, dass ich versucht hab, das Ganze jetz noch zusätzlich mit der Zahl 3 zu beweisen:
2 * 3 + 1 = (3 + 1 )² ergibt für mich 7 = 16 .... ok, verdammt. Stimmt auf einmal nicht mehr. Versuchen wir's mit 5.
2 * 5 + 1 = (5 + 1)² ergibt für mich 11 = 36 ... stimmt wieder nicht.

Irgendwann hab ich's durchgestrichen und ganze Aufgabe weggelassen, weil ich's für keine andere Zahl außer 0 beweisen konnte und ich demzufolge annahm, dass es sich dann auch im Induktionsschritt für n -> n + 1 nicht beweisen lässt, ergo: dass meine gesamte Gleichung einfach Müll war.

Im Nachhinein stellt sich heraus, dass meine Gleichung gestimmt hat.
Mir erschließt sich nur leider immer noch nicht wieso das sich für keine Zahl außer 0 beweisen lässt.

Was hab ich falsch gemacht? Mathefreaks, klärt mich auf, vielleicht bin ich dann im dritten Semester schlauer. :(

mfG Penetranz

Hey, du hast doch selbst geschreben, dass die Summe von k=0 bis n gemeint ist.
Für n=1 also z.B. 2*0+1+2*1+1=(1+1)^2
also 1+3=4
Für n=2 dann 1+3+5=3^2=9 und so weiter.
Jetzt nimmst du an dass die Summe von k=0 bis n von 2k+1 ja = (n+1)^2 ist.
Für den Induktionsschritt musst du zeigen dass (n+1)^2 +2(n+1)+1 = (n+2)^2 ist.
Auflösen der binomischen Formeln ergibt:
n^2+2n+1+2n+2+1=n^2+4n+4 was offensichtlich stimmt.

Das bedeutet, dass ich, während ich für 0 links und rechts NUR null einzusetzen brauche, muss ich für die höheren, ungeraden Zahlen auf der linken Seite die Zahlen davor auch einsetzen, weil es ja 'ne Summe ist? Erklärt einiges. Danke für die schnelle Antwort.

Generell zu Induktion:

Was einem am Anfang oft verwirren kann ist die Klammerung.Am Ende muss da die gleiche Formel stehen die zu beweisen ist nur muss da statt "n" eben ´"(n+1)" stehen.
Während des Umformens darf diese Klammern aber auflösen.
Wenn da jetzt steht: n^2 + 4n +4 = (n+2)^2,dann sieht man das leicht. Aber wenn man die Klammerung verändert zu n^2 + 4n +4 = ((n+1) +1)^2 dann muss man etwas genauer hinsehen.
Um auch hier den Durchblick zu behalten empfehle ich:

Versuche mal nicht zu zuerst die Summe "aufzulösen" bzw. umzuformen,sondern versuche von der anderen Seite anzufangen.Sprich: Setze in (n+1)^2 für n einfach n+1 ein,was das Ergebniss ist,welches du willst und
multipliziere dann ((n+1) +1)^2 bzw. (n+2)^2 aus.Oft ist ausmultiplizieren auch nicht ratsam,aber bei Aufgaben von diesem Niveau geht das meiner Ansicht nach gut.

Nun kannst du wieder von links anfangen,also von der Summe aus.Erhöhe die Summe auf n+1 und setzte dann gleich der Summe bis n plus dem neuen Term.
Nun musst du eben von dem ausmultiplizierten Term diesen neuen Term subtrahieren.Dieser Rest der jetzt bleibt muss natürlich gleich der Summe bis n sein.

Zusammengefasst ist meine Art der Lösung also:

Setze für n einfach n+1 in das Polynom oder was auch immer ein und multipliziere aus.
Setze für n einfach n+1 in die Summe und ziehe den letzten Summanden im nächsten Schritt aus
der Summe,die jetzt wieder nur noch bis n läuft.
Subtrahiere diesen einzelnen Summanden nun von beiden Seiten.
Fasse die Terme wieder zusammmen.

Das machst du auf einem Schmierblatt und schreibst es dann von rechts nach links sauber auf,als ob es alles klar zu sehen wäre,so dass dann aussen steht:

Summe k=0..n+1 (2k +1) = ....=((n+1)+1)^2

Ich würde diese Herangehensweise jetzt für mindestens 10 Aufgaben üben (googlen),denn Induktion sollte dir eigentlich in einer Klausur die lockeren Punkte bringen!

Auch würde ich zu Sicherheit für die Klausur noch ein paar Identitäten (wiki) lernen.

Mache dir zb klar dass du mit http://de.wikipedia.org/wiki/Binomischer_Lehrsatz und den Binomialkoeffizienten (n über k) http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient sofrt

Summe k=0..n ((-1)^k (n über k) )= 0 und
Summe k=0..n ((n über k)) = 2^n

beweisen kannst.

Wir mussten den binomischen Lehrsatz beweisen.DAS war asozial ^ o ^

Danke auch dir, noRkia ;) hilft mir auf jeden Fall weiter.