Schnelle Berechnung bitte: Zweierpasch mit drei Würfeln!

Einfache Frage: Wie hoch ist die Chance, mit drei Würfeln einen beliebigen 2er Pasch zu würfeln (3er Pasch ginge auch)?

Einfache Antwort: 66 zu 216, gekürzt 11/36, also 30,555...% - vorausgesetzt, ich hab richtig gerechnet, du willst einen 2er Pasch oder auch 3er Pasch (der ja einen 2er Pasch beinhaltet) und wir reden hier von W6. *g*
Willst du nur einen „reinen“ 2er Pasch, also keinen 3er, dann: 60 zu 216 oder 10/36, macht 27,777...%

(Für drei Würfel mit X Seiten müsste die Wahrscheinlichkeit, einen beliebigen 2er Pasch zu machen, (X + (2 * X * (X - 1))) / (X * X * X) betragen... immernoch vorausgesetzt, ich hab keinen Fehler gemacht. o.o' Und für einen „reinen“ 2er Pasch (2 * X * (X - 1)) / (X * X * X). ^^)

Hm, danke erstmal!
Wir hatten in msn gerade 19/36 ausgerechnet. Aber ich kapiere die Rechnung da oben nicht (keine Chance! xD), weshalb ich mich nicht streiten kann. Vielleicht kommen ja noch weitere Meinungen.

Naja, eigentlich ist es nicht sooo~ überschwer: Wir betrachten erstmal den Fall, dass der erste der drei Würfel schon gefallen ist, sagen wir mit einer 6. Man freut sich ja immer, wenn eine 6 fällt. Dann gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder, der zweite Würfel fällt auch auf 6, oder eben nicht. Fällt er auf 6, bleiben für den dritten Würfel fünf Möglichkeiten, um einen reinen Zweierpasch zu machen (1, 2, 3, 4, 5), und sogar alle sechs, um einen Zweierpasch zu machen, der auch den Dreierpasch beinhaltet (1, 2, 3, 4, 5, 6). Fällt er nicht auf 6, bleibt für jede Möglichkeit des zweiten Würfels (1, 2, 3, 4, 5) genau eine Möglichkeit für den dritten Würfel (nämlich genau die Zahl des zweiten Würfels zu würfeln), um einen Pasch zu erreichen. Macht nochmal eins pro Zahl, also 5 dazu. Macht 5 + 5 = 10 für den reinen Zweierpasch, beziehungsweise 6 + 5 = 11 für den Zweierpasch, der den Dreierpasch beinhaltet. Das ganze von 6 * 6 = 36 Möglichkeiten, da wir ja alle Variationen für den zweiten und dritten Würfel uns ansahen.
Da das genauso funktioniert, nur mit anderen Zahlen, für die anderen fünf Varianten des ersten Würfelwurfs, kann man eben auch sagen 60 beziehungsweise 66 von 216 Möglichkeiten insgesamt. o.o'

Und meine Formel kann man auch einfacher haben von da oben: Für einen WX, also X-seitigen Würfel, die Wahrscheinlichkeit für einen reinen Zweipasch: (2 * (X - 1)) / (X * X). Und für jeden Zweierpasch, auch den Dreierpasch, der ja den Zweier- enthält: (1 + (2 * (X - 1))) / (X * X). Da sieht es schon nicht mehr ganz so böse aus. =)

Cappucinofleck hat mir folgende Tabelle gegeben, die eingängiger war.

Zitat:

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111 x
112 x
113 x
114 x
115 x
116 x
121 x
122 x
123
124
125
126
131 x
132
133 x
134
135
136
141 x
142
143
144 x
145
146
151 x
152
153
154
155 x
156
161 x
162
163
164
165
166 x

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Das sind mögliche Würfe, wenn ein Würfel eine 1 zeigt, wobei da 16/36 Paschs sind. Könnte man jetzt versechsfachen oder einfach auf eine Wahrscheinlich von 4/9 runtertreiben. Ich denke, das ist die richtige Antwort.

Moyaccercchi ist anscheinend davon ausgegangen, dass die Würfel hintereinander geworfen werden und somit der erste und der dritte Würfel mit dem gleichen Wert noch kein Pasch sind.

Zitat:

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Fällt er nicht auf 6, bleibt für jede Möglichkeit des zweiten Würfels (1, 2, 3, 4, 5) genau eine Möglichkeit für den dritten Würfel (nämlich genau die Zahl des zweiten Würfels zu würfeln), um einen Pasch zu erreichen.

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Insofern scheinen alle genannten Lösungen zu stimmen, je nachdem wie man die Frage auslegt.
Im Zweifelsfall Baumdiagramm, das klappt selbst in der Uni noch bei mittelmäßig schwierigen Fragen :D

Erster Wurf: unwichtig
Zweiter Wurf: 1/6 - Sofortgewinn, falls nicht
Dritter Wurf: 1/3 für Pasch, da Wurf1 != Wurf2

Die zwei Pfade addieren:
1/6 + (5/6*1/3) = 3/18 + 5/18 = 8/18 = 4/9

War doch nicht so schwer ;)

Japp, bin ich. Gnah. Typischer Fall davon, endlos an einem Problem herumzurechnen, das mit dem tatsächlich geforderten überhaupt nichts zu tun hat. ^^

also es stellt sich doch noch die frage ob ein 3er pasch auch als 2er pasch zählt oder nur reine 2er pasch's elaubt sind.das ist etwas anderes.
ich hasse diese ungenauen aufgabenstellungen.sogar in meiner klausur letztes semester musste man einfach vorraussetzen das es gleich viele männer und frauen gibt.was nicht so ist -.-

Gibt es eine allgemeine Formel für die Wahrscheinlichkeit eines Paschs bei X Würfeln?

Ich spreche hier von allen möglichen Paschs (2 gleiche Würfel, 3 gleiche Würfel usw.) und nur von normalen Würfeln (W6).

Durch Baumdiagramm komme ich bis zur Wahrscheinlichkeit bei 4 Würfeln:

2W6: Wahrscheinlichkeit 1/6 = 16,67%
3W6: Wahrscheinlichkeit 96/216 = 44,44%
4W6: Wahrscheinlichkeit 1032/1296 = 79,62%

Ich brauche aber auch noch die Wahrscheinlichkeiten für 5W6, 6W6.

Gibt es denn keine allgemeine Formel für X Würfel?

Man kann doch einfach die Gegenwahrscheinlichkeit bestimmen, anstatt alle Ergebnisse aufwendig einzeln zu berechnen.

Das Gegenereignis ist: Alle mit Unterschiedlichen Zahlen. Da hat der erste Würfel Wahrscheinlichkeit 1, der zweite 5/6 und der dritte 4/6, also insgesamt 20/36=5/9. Gegenwahrscheinlichkeit davon ist 4/9. Dann muss man auch kein "wenn der zweite Würfel das gleiche zeigt wie der erste, dann..., und sonst..." rummachen!

Und für mehr als sechs Würfel ist die Wahrscheinlichkeit 0.

Kannst Du mir dann bitte die Wahrscheinlichkeit angeben für:

5W6: ? %
6W6: ? %

Eine allgemeine Formel für X Würfel wäre wirklich Klasse. Müßte es doch geben, oder?

Die Gegenwahrscheinlichkeit ist doch ein guter Ansatz.
Zu jeder Wahrscheinlichkeit p gibt es die Gegenwahrscheinlichkeit q die über die Formel im Zusammenhang stehen. Anders gesagt addieren sich p und q immer zu 1, denn entweder trifft das Ereignis ein oder halt nicht.

Kleines Beispiel für einen Pasch mit 2 Würfeln:
Ausgangspunkt ist, dass der 1. Würfel eine beliebige Zahl zeigt.
a) Direkt: Die Wahrscheinlichkeit, dass du mit dem 2. Würfel nun genau diese Zahl triffst (also einen Pasch wirft) ist 1/6
b) Indirekt: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der 2. Würfel nicht die gewünschte Zahl zeigt (also kein Pasch entsteht)? Da gibt es dann 5 von 6 Möglichkeiten, also ist die Gegenwahrscheinlichkeit q =5/6. Über die oben genannte Formel kriegen wir nun unsere gesuchte Wahrscheinlichkeit: [tex]5/6 = 1-p \Leftrightarrow p = 1-5/6 = 1/6


Soa, bei 2 Würfeln ist b) ein ziemlicher overkill, aber anders sieht es bei 3 Würfeln aus.

Frage dich, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es keinen Pasch gibt.

Der erste Würfel ist wieder beliebig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass du mit dem 2. Würfel keinen Pasch wirfst? Genau, wieder 5/6 und nun wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der 3. Würfel nicht eine der anderen beiden Zahlen zeigt? 4/6. Dies ist die einzige Möglichkeit, dass kein Pasch entsteht.
Was ist nun die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis. Dafür multiplizierst du die einzelnen Wahrscheinlichkeiten (Stichwort: Bedingte Wahrscheinlichkeit)
Die Gegenwahrscheinlichkeit q ist also:
Und damit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für einen Pasch mit 3 Würfeln:

Ganz analog machst du das nun mit 4, 5 und 6 Würfeln. Bin mir auch recht sicher, dass es dafür eine Formel gibt, müsste man mal überprüfen oder ein paar Stochastikbücher wälzen. Letztlich ist es aber bei W6 doch recht überschaubar. o.O

Mannomann...

Die Wahrscheinlichkeit, dass 5 Würfel alle unterschiedliche Zahlen zeigen, ist 6/6*5/6*4/6*3/6*2/6 =6!/(6^5)

Allgemeine Formel ist einfach abzuleiten:

ist dann die Gegenwahrscheinlichkeit für X Würfel. Von eins abziehen kannst du aber selbst.

Warum Ihr mir nicht einfach die Wahrscheinlichkeiten in Prozent hinter meine zwei Zeilen schreibt, eröffnet sich mir allerdings noch nicht ;)

Vielen Dank für die Formel. Subtraktion von 1 kriege ich wahrscheinlich mit meinem antiken Abakus schon noch hin.

Mir eröffnet sich nicht, warum du unbedingt die Wahrscheinlichkeit in Prozent haben willst, denn man pflegt in der Mathematik die genauen Werte zu bewahren. Ferner kannst du dich ja auch ein bisschen anstrengen, und ich habe besseres zu tun, als zusätzlich zu vierzig Sekunden über die allgemeine Formel nachdenken weitere zwei Minuten mit eintippen zu verbringen. Wundert sich niemand, wenn du plötzlich das Ergebnis hast, und nicht erklären kannst, wie du darauf kamst? So lernst du nichts.

Ja, da hast Du schon Recht. Und Eure Formel inkl. Herleitung war sehr hilfreich für mich. Ich habe mir damit natürlich auch die Wahrscheinlichkeiten ausrechnen können. Dafür nochmals herzlichen Dank! Wodurch ich mir Deinen Zorn zugezogen habe, verstehe ich leider nicht.

Ich benötige die Wahrscheinlichkeiten für eine Aussage in einem Würfelspiel und dort sind Prozente einfach "handlicher" als 720/1296.

Nix für Ungut und Dank an YoshiGreen und Dich.