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Größte Primzahl 4n+3
hallo,
ich soll beweisen, dass es keine größte Primzahl der Form 4n+3 gibt.
Erster Ansatz:
(4n+3)*(4m+3)=4N+3
und
(4n+3)*(4m+1)=4N+3
und
(4n+1)*(4m+1)=4N+1
Jetzt habe ich gedacht, ich multipliziere die ersten Primzahlen der Form 4n+3, also
4n+3 * 4m+3 * 4o+3 * 4p+3 * ... * 4z+3, wobei 4z+3 die größte Primzahl der gegebenen Form sei.
jetzt addiere ich 3 und erhalte eine Zahl P, die weder durch 4n+3 noch durch 4m+3 noch eine andere Primzahl der Form 4X+3 teilbar ist. Aber: Woher weiß ich, dass es nicht durch eine Zahl der Form 4n+1 teilbar ist?
Beispiel: Wenn ich 3 und 5 multipliziere und 1 addiere, erhalte ich 16, keine Primzahl. Wenn ich 2 und 7 und 1 so kombiniere, erhalte ich 15, auch nicht prim.
Das Problem ist offenbar, dass diese zahl P mit P = p1 * p2 * ... * pn +1 nur dann prim ist, wenn man keine Primzahl im Produkt auslässt!
oben allerdings lasse ich ungefähr jede zweite Primazahl aus, da ich 4n+1 nicht beachte! Wie kann ich zeigen, dass die zahl P oben auch nicht durch 4a+1 teilbar ist? Sofern P eine ungerade Zahl an Faktoren der Form 4n+3 hat, ist P selbst auch 4n+3! Siehe allererster Ansatz!
EDIT:
geht vielleicht, dass (4N+3)-(4a+1) = 4(N-a)+2, was weder eine Primzahl der form +1 oder +3 ist, und das allgemein eine Zahl dieser form aufträte, wenn ich (4N+3)/(4a+1) teile? (Weil also der Rest immer gerade wäre)
Warum kann 4n+3 nicht durch 4m+1 geteilt werden, für irgendwelche n,m?
EDIT: Ich habs! die oben definierte Zahl P kann nicht durch irgendeine Zahl der form 4n+3 geteilt werden. Das bedeutet, dass sie komplett aus produkten der form 4a+1 * 4b+1 * ... *4k+1 bestehen müsste, sofern es keine Primzahl ist (und das soll es ja sein). ABER, wie ich als allererstes gezeigt haben, kann das Produkt 4a+1 * 4b+1 * ... *4k+1 nur eine Zahl der Form 4Z+1, nicht 4Z+3 bilden, daher kann also P weder durch 4n+3 noch 4a+1 geteilt werden, und ist PRIM! =)
closed... :o
EDIT:
der beweis wird dadurch sehr unschön/kaputt, dass, wie ebenfalls ganz oben festgehalten, das Produkt 4n+3 * 4m+3 ... nur für eine gerade Anzahl an faktoren eine Zahl der form 4z+3 ergibt. Das macht nichts, denn wir können mit 4n+3 und 4m+3 z.B. 4z+3 bilden, dann mit 4m+3 und 4z+3 die Zahl 4y+3, usw.
Das wiederum basiert aber auf der annahme, dass z.b. 4*(7*11)+3 oder 4*(7*11*19*23)+3 prim sind, auch wenn ich, wie oben genannt, faktoren auslasse. Das kann ich aber wiederum nicht beweisen...
