Nicht der hellste in Mathe, Thema Stochastik

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25.10.2009, 18:50
Genius

Nicht der hellste in Mathe, Thema Stochastik

Moin, bin grade in der S3 und wir machen mal wieder Stochastik.
Leider bin ich kein helles Köpfchen in Mathe (oder eher nicht immer)

Haben 4 kleine Aufgaben aufbekommen und ich brauch unbedingt Hilfe.

Aufgabe 1)

Bei einer Tombola sind im Lostopf noch 6 Lose, darunter der Hauptgewinn. Die Zufallsgröße X ist die Anzahl der Lose, die gezogen werden, bis der Hauptgewinn gezogen wird. Ermitteln Sie die Warscheinlichkeitsverteilung von X,sowie E (x) und V(x) (also Erwartungswert und Abweichung)

Ich kapier wirklich gar nichts, das wäre schonmal Gold Wert, wenn man mir da helfen könnte.

Aufgab 2)

Geht um Mensch ärgere dich nicht:

a) Mit welcher Warscheinlichkeit würfelt man bereits beim 3. Wurf eine Sechs?
b) Wie oft muss man im Mittel werfen, um eine Sechs zu erreichen?

Ahh, wirklich, ich finde keine Ansätze.

Aufgabe 3) Etwa 6% der Deutschen sind Linkshänder. Eine Firma hat einen Kartoffelschäler für Linkshänder entwickelt und sucht Testpersonen.

a) Mit welcher Warscheinlichkeit ist spätestens ie fünfte angesprochene Person ein Linkshänder?
b) Wieviele Personen muss man im Mittel ansprechen, bis man einen Linkshänder findet?

Ich will nicht unbedingt dass mir jemand alles vorgaukelt (was trotzdem nett wäre) aber Ansätze und ggf. Lösungen wären echt gut, danke im Vorraus!
25.10.2009, 22:56
noRkia

zu 2a und 3a:

erinnere dich mal an das baumdiagramm.du brauchst nur die wahrscheinlichkeiten auf den ästen einzutragen und dann auf der entsprechenden stufe zu addieren etc.

was die mit im mittel meinen weis ich nicht genau ;/

dabei hab ich seit heute die stochastik vorlesung aber bisher hat der alte nur definitionen angeschrieben.und deine sachen waren da noch nich dabei :)
31.10.2009, 12:37
thickstone

Sowas haben wir neulich auch noch gemacht, ich versuche es mal.

Zitat:

Aufgabe 1)
Bei einer Tombola sind im Lostopf noch 6 Lose, darunter der Hauptgewinn. Die Zufallsgröße X ist die Anzahl der Lose, die gezogen werden, bis der Hauptgewinn gezogen wird. Ermitteln Sie die Warscheinlichkeitsverteilung von X,sowie E (x) und V(x) (also Erwartungswert und Abweichung)

Ich kapier wirklich gar nichts, das wäre schonmal Gold Wert, wenn man mir da helfen könnte.

Also, erstmal, was die von dir wollen. Mit Wahrscheinlichkeitsverteilung meinen die, dass du die Wahrscheinlichkeit für X=0 bis X= 5 bestimmen sollst. Also: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, nach 0,1,2,3,4,5,6 Losen den Hauptgewinn zu ziehen.

P(x=0) = 5/6^0 x 1/6
Hier ist es so, dass wir keine ,,Nieten'' ziehen und gleich den Hauptgewinn haben, deswegen P(x=0) (das X sind ja die Lose (Nieten))

5/6 ist die Wahrscheinlickeit für ein normales Los (sind ja 5 Stück) und 1/6 ist dann die Wahrscheinlichkeit für den Hauptgewinn, der unter diesen 6 Losen ja nur einmal vorhanden ist.

P(x=1) = 5/6 * 1/5
Weil wir ja jetzt 1 normales Los haben und dann den Hauptgewinn. 1/5 habe ich genommen, weil JETZT ja ein Los weniger im Topf ist, das hast du ja so gesehen gerade gezogen.

Das machst du jetzt eben so weiter ^^ Noch ein Beispiel für das nächste.

P(x=2) = 5/6 * 4/5 * 1/4

Der Nenner gibt also an, wie viele Lose sich im Topf befinden. Du musst dabei IMMER bedenken, dass du erst die normalen Lose ziehst und DANN den Hauptgewinn. (Ist durch die Aufgabe so vorgegeben)

Was aber nicht in der Aufgabe drinsteht (sehr unglücklich): Ist das mit Zurücklegen oder ohne Zurücklegen? Bin jetzt davon ausgegangen, dass es ohne Zurücklegen ist. Die Unterschied ist folgender: Wenn du die Lose immer wieder zurücklegst, verändert sich die Wahrscheinlichkeit wie oben (also der Nenner verringert sich). Wenn du die Lose zurücklegst, bleibt die Wahrscheinlichkeit immer gleich. Logisch, denn es beiben ja immer gleich viele Lose in der Urne/Kasten/Whatever.

Und so geht es dann immer weiter. Vielleicht habe ich auch einen Denkfehler, kann ich nie ganz ausschließen. Bei Fragen, frag ruhig.

E(x) ist der Erwartungswert und das ist eine ganz normale Formel. Du rechnest da dann n*p. Dabei ist n die Anzahl der Versuche, p ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer. In dem Fall lässt sich der Erwartungswert so bestimmen.

E (x) = 6 * 5/6 = 5
Das sagt dir nun, dass im Durchschnitt (oder im Mittel, wird auch gerne genommen) 5 Lose gezogen werden, bevor du den Hauptgewinn hast.

V(x) ist auch eine Formel, wo du einfach Zahlen einsetzen musst. Die weiß ich grad nicht, müsstest du googeln ;) Generell sagt dir dann das Ergebnis, wie hoch die Schwankungen bei den Ergebnissen sind...blöd ausgedrückt.

Zitat:

Aufgab 2)

Geht um Mensch ärgere dich nicht:

a) Mit welcher Warscheinlichkeit würfelt man bereits beim 3. Wurf eine Sechs?
b) Wie oft muss man im Mittel werfen, um eine Sechs zu erreichen?

Ahh, wirklich, ich finde keine Ansätze.

a) IMO rechnest du da einfach 1/6 ^3, wobei 1/6 eben die Wahrscheinlichkeit für eine 6 ist und das ^3 sind dann eben die Würfe (respektive die Äste des Baumes) Falls du das in den Klammern nicht verstehst, ignoriere es einfach ^^
Da kommt was winzig kleines raus, kommt mir Spanisch vor.

b) Der Ausdruck ,,im Mittel'' sagt dir, dass der Erwartungswert gefragt ist. Du erinnerst dich, die Formel ist n*p. P haben wir schon, das ist 1/6, n fehlt allerdings (also die Zahl der Durchführungen). Wenn das nicht gegeben ist, musst du dir wohl was ausdenken. Ich habe für n jetzt einfach 50 genommen und komme auf 8 1/3. Da es ja keine 1/3 Würfe gibt, rundest du auf 9. Du musst also im Durchschnitt bei 50 Würfen 9x werfen, um eine 6 zu bekommen.

Zitat:

Aufgabe 3) Etwa 6% der Deutschen sind Linkshänder. Eine Firma hat einen Kartoffelschäler für Linkshänder entwickelt und sucht Testpersonen.

a) Mit welcher Warscheinlichkeit ist spätestens ie fünfte angesprochene Person ein Linkshänder?
b) Wieviele Personen muss man im Mittel ansprechen, bis man einen Linkshänder findet?

a)
Da schwanke ich gerade und bin mir nicht ganz sicher, deswegen lasse ich es erstmal....

b) Deutschland hat ca. 82 Millionen Bürger und du weißt ja jetzt, was bei ,,im Mittel'' zu tun ist ;) Du rechnest also 82 Millionen * 0,06 (<- Wahrscheinlichkeit für Linkshänder, s. Aufgabenstellung)
Ergebnis: 4.920.000
Das sind ziemlich..........viele. Bei sowas siehst du schon, dass der Erwartungswert eben manchmal nicht so hilfreich ist, deswegen ist die Standardabweichung (V (x)) so wichtig. Es ist eben wirklich nur ein Durchschnitt, z.B. könnten dir auch 5 Linkshänder auf einmal begegnen. Du verstehst :)

Hoffentlich konnte ich dir helfen. Ich kann dir aber nicht garantieren, dass es fehlerfrei ist. Bin gerade so unkonzentriert ^^
31.10.2009, 19:04
eoc

Würde hingegen sagen, dass die Aufgabe eben nicht differenziert zwischen Niete und Hauptgewinn, dass also "Lose, die gezogen werden, bis der Hauptgewinn gezogen wird" nur Zahlen von 1-6 annimmt und nicht von 0-5. Sonst passt die Verteilung (mit bzw. ohne Zurücklegen).
Bei $E(X)$ und $V(X)$ fehlt mir sowas wie a) eine Person kauft alle b) sechs Personen kaufen je ein Los etc., denn im Moment kannst du E(X) als $n\cdot p$ mit jedem beliebigen $n$ durchrechnen :D Gehen wir davon aus, dass eine Person nacheinander kauft, ist $E(X)=\mu=n\cdot p=6\cdot\frac{1}{6}=1$ , die erwarteten Gewinne beim Kauf aller restlichen Lose sind also einer. Klingt logisch ;)
Ergänzend noch: $V(X) = \sigma ^2 = npq = np(1-p)$

Zitat:

Zitat von Mando Diao

2 a) IMO rechnest du da einfach 1/6 ^3, wobei 1/6 eben die Wahrscheinlichkeit für eine 6 ist und das ^3 sind dann eben die Würfe (respektive die Äste des Baumes) Falls du das in den Klammern nicht verstehst, ignoriere es einfach ^^
Da kommt was winzig kleines raus, kommt mir Spanisch vor.

$\left(\frac{1}{6}\right) ^{3}$ ist die Wahrscheinlichkeit für dreimal Sechs bei drei Würfen. Gesucht ist einmal aus drei. (-, Ich machs mal über den Baum und nicht mit Formeln für Binomialverteilungen, wenn ihr die schon hattet bzw. benutzen sollt, sag Bescheid!
Geschickter Weg wäre z.B. die Überlegung, dass du die gesuchte Wahrscheinlichkeit auffasst als 1 - P für "in drei Würfen keine Sechs" und damit also $1-\left(\frac{5}{6}\right) ^{3}$ Sind ungefähr 42%. Zur Kontrolle ;)

Zitat:

Zitat von Mando Diao

b) Der Ausdruck ,,im Mittel'' sagt dir, dass der Erwartungswert gefragt ist. Du erinnerst dich, die Formel ist n*p. P haben wir schon, das ist 1/6, n fehlt allerdings (also die Zahl der Durchführungen). Wenn das nicht gegeben ist, musst du dir wohl was ausdenken. Ich habe für n jetzt einfach 50 genommen und komme auf 8 1/3. Da es ja keine 1/3 Würfe gibt, rundest du auf 9. Du musst also im Durchschnitt bei 50 Würfen 9x werfen, um eine 6 zu bekommen.

Gesucht sind nicht 25/3 erfolgreiche Würfe, sondern einer. n fehlt dementsprechend nicht, sondern ist gesucht.
$\mu=1\;\;\mu=np\;\Rightarrow\; n=\frac{\mu}{p}=\frac{1}{1/6}\;=\;6$

3a - schauen wir uns oben um beim Würfeln: Wenn ich fünf Menschen anspreche und keiner ist ein Linkshänder, habe ich die Gegenwahrscheinlichkeit zu meinem gesuchten Ereignis. Also $1-\;0.94^5\;\approx\;0.266$ .

Zitat:

Zitat von Mando Diao

b) Deutschland hat ca. 82 Millionen Bürger und du weißt ja jetzt, was bei ,,im Mittel'' zu tun ist ;) Du rechnest also 82 Millionen * 0,06 (<- Wahrscheinlichkeit für Linkshänder, s. Aufgabenstellung)
Ergebnis: 4.920.000
Das sind ziemlich..........viele. Bei sowas siehst du schon, dass der Erwartungswert eben manchmal nicht so hilfreich ist, deswegen ist die Standardabweichung (V (x)) so wichtig. Es ist eben wirklich nur ein Durchschnitt, z.B. könnten dir auch 5 Linkshänder auf einmal begegnen. Du verstehst :)

Gesucht sind nicht 4'920'000 erfolgreiche Versuche, sondern einer. $\mu=1\;\;\mu=np\;\Rightarrow\; n=\frac{\mu}{p}=\frac{1}{.06}\;\approx\; 17$
01.11.2009, 23:05
Genius

Dankeschön an alle! Hab mir heute Abend auch mal von so einem netten Herrn Videos zur Binominalverteilung angesehen (4 Fälle wegen der Tafel) dann Standardabweichung Erwartungswert angeguckt und Urnenmodelle aufgeschrieben (wir dürfen DIN A 6 Zettel beschreiben und benutzen)

Die Lösungen haben mir hier jetzt noch einiges an klarheit gebracht und lassen mich das ganze nun sehr gut verstehen, dankeschön!

Morgen schreib ich dir Klausur und sag dann wie's war. :D