Problem mit komplexen Zahlen

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18.01.2009, 17:41
TheBiber

Problem mit komplexen Zahlen

Bei den Übungsklausuren zur Signaltheorie geht es oft ums komplexe Rechnen. Normalerweise stellen diese Zahlen für mich kein grösseres Problem dar, doch jetzt bin ich auf einen relativ unverständlichen Widerspruch gestossen, den ich selbst noch nicht durchschaut habe. Zur Information: In der Elektrotechnik wird für die imaginäre Einheit der Buchstabe j verwendet, es gilt also $j^2=-1$

Gegeben ist $e^{j\theta}=\frac{1+\frac{j\omega}{c}}{1-\frac{j\omega}{c}}$

Es gilt nun, einen Zusammenhang zwischen $\theta$ und $\omega$ herzustellen und anschliessend ein $\omega_0$ zu bestimmen, für das $\theta=\frac{\pi}{2}$ gilt.

Meine Lösung sieht folgendermassen aus:

$e^{j\theta}=\frac{1+\frac{j\omega}{c}}{1-\frac{j\omega}{c}} = \frac{c+j\omega}{c-j\omega} = \frac{c^2+2j\omega-\omega^2}{c^2+\omega^2} = \frac{c^2-\omega^2}{c^2+\omega^2}+j\frac{2\omega}{c^2+\omega^2}$

Ich habe die rechte Seite auf die kartesische Form gebracht. $\theta$ entspricht deshalb dem Argument dieses Ausdrucks und ist gegeben als $\theta=\arctan(\frac{2\omega}{c^2-\omega^2})$ . Aus $\theta=\frac{\pi}{2}$ folgt $\frac{2\omega_0}{c^2-\omega_0^2}=\tan(\frac{\pi}{2})=\frac{\sin(\frac{\pi}{2})}{\cos(\frac{\pi}{2})}$ und deshalb $\omega_0\rightarrow\infty$ .

Laut meiner Musterlösung ist dieses Vorgehen aber falsch, aber ich weiss nicht wieso, da ich ja nichts anderes gemacht habe, als einfache Umformungen und anschliessend das Argument berechnet. Die Musterlösung geht alternativ, aber nicht weniger falsch vor und kommt auf ein völlig anderes Ergebnis:

$\theta = \arg(\frac{1+j\frac{\omega}{c}}{1-j\frac{\omega}{c}}) = \arg(1+j\frac{\omega}{c})-\arg(1-j\frac{\omega}{c}) = 2\arg(1+j\frac{\omega}{c})= 2\arctan\frac{\omega}{c}$

Daraus folgt für $\theta=\frac{\pi}{2}$ : $2\arctan\frac{\omega_0}{c} = \frac{\pi}{2}$ und daraus $\omega_0 = c\cdot\tan\frac{\pi}{4} = c$ .

Ich wäre dankbar, wenn es irgendjemand schaffen würde, den Widerspruch aufzudecken. Ich schaffte es bisher nämlich nicht.

EDIT: Bah, funktioniert etwa TEX nicht mehr oder werden die Bilder nur bei mir nicht angezeigt? http://www.multimediaxis.de/images/s.../old/szuck.gif

EDIT: Super, danke. :D Hatte jetzt noch einige Tippfehler korrigiert.
18.01.2009, 17:51
Drakes

Zitat:

Zitat von TheBiber

EDIT: Bah, funktioniert etwa TEX nicht mehr oder werden die Bilder nur bei mir nicht angezeigt? http://www.multimediaxis.de/images/s.../old/szuck.gif

Nein, ist auch bei mir so, wollte gerade etwas mit TEX im Programmier-Forum erklären. :(

Edit: http://www.multimediaxis.de/cgi-bin/mimetex.cgi ist nicht mehr verfügbar, wird wohl das zugehörige CGI-Skript gewesen sein.
18.01.2009, 21:07
Lukas

fixed, haben wir beim Forenserver-Wechsel übersehen.
28.01.2009, 19:22
TheBiber

Also falls es sich irgendwer noch überlegt, das Problem ist immer noch ungelöst. Die Klausur ist zwar schon länger durch, aber interessieren würde mich die Sache schon. ^^
28.01.2009, 20:25
Dhan

Warum hast du nicht einfach einen Dozenten gefragt?
29.01.2009, 21:02
TheBiber

Hab gedacht, ein paar mathematisch interessierte würden sich schon noch finden. ;) Von dir bin ich jetzt masslos enttäuscht, sorry. :D

Das Problem ist inzwischen geklärt, man kann das Argument nicht über den Tangens berechnen, da dieser bei pi/2 eine Singularität aufweist. Man müsste den Realteil dem Cosinus bzw. den Imaginärteil dem Sinus gleichsetzen, dann erhält man auf jeden Fall die richtige Lösung $\omega_0=c$ .