Mathe - Umkehrfunktionen in C

könnt ihr mir sagen ob folgende schlussolgerung stimmt:

nach dem fundamentalsatz der algebra hat jedes polynom in C eine nullstelle.

ein fixpunkt einer funktion ist genau ein schnittpunkt mit seiner umkehrfunktion.(klar).

da heisst es gilt die fixpunktgleichung F(X') = X'
also ist nach umformen F(X') - X' = 0

F(X') - X' ist aber ein neues polynom und hat daher auch in C eine nullstelle nämlich genau X'.

da X' der schnittpunkt mit der umkehrfunktion ist ist F(X) also entweder genau oder sogar in einer umgebung von X' invertierbar.

das heisst zusammengefasst das jedes polynomfunktionen mindestens an einer komplexen stelle invertierbar ist.

stimmt das so ?

Ein par Bemerkungen dazu.

Zitat:

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nach dem fundamentalsatz der algebra hat jedes polynom in C eine nullstelle.

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Das ist so nicht korrekt. Konstante Polynome haben auch in C keine Nullstelle. Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, daß ein Polynom in C immer komplett in seine Linearfaktoren zerfällt, was bedeutet, daß ein Polynom mit dem Grad n in C auch genau n Nullstellen hat.

Zitat:

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ein fixpunkt einer funktion ist genau ein schnittpunkt mit seiner umkehrfunktion.(klar).

da heisst es gilt die fixpunktgleichung F(X') = X'
also ist nach umformen F(X') - X' = 0

F(X') - X' ist aber ein neues polynom und hat daher auch in C eine nullstelle nämlich genau X'.

da X' der schnittpunkt mit der umkehrfunktion ist ist F(X) also entweder genau oder sogar in einer umgebung von X' invertierbar.

das heisst zusammengefasst das jedes polynomfunktionen mindestens an einer komplexen stelle invertierbar ist.

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Mit dem Begriff Fixpunkt kann ich wenig anfangen, aber wenn du Anfangs von der Fixpunktgleichung ausgehst und diesen als Schnittpunkt einer Funktion mit ihrer Umkehrfunktion definierst, gehst du ja schon davon aus, daß eine Umkehrfunktion existiert, sprich die Funktion invertierbar ist. Du gehst also schon davon aus, was du herleiten willst, klassischer Zirkelschluss.

Andererseits sind Polynome stetige Funktionen und in einem abgeschlossenem Intervall (a, b) nimmt f(x) jeden möglichen Wert zwischen f(a) und f(b) genau einmal an sofern f stetig ist. (Mittelwertsatz, wenn ich mich nicht irre) was bedeutet auf einem abgeschlossenem Intervall (a, b) ist ein Polynom immer invertierbar. Wie es bei offenen Intervallen ist, weiß ich jetzt nicht 100%ig, aber ich meine Polynome sind auch dort invertierbar.
Ich muss auch zugeben Probleme damit zu haben mir ein nicht invertierbares Polynom vorzustellen. Wenn die Invertierbarkeit von Polynomen nicht universell gegeben ist, kannst du ein Beispiel für ein Polynom geben, daß nicht überall invertierbar ist?

Zitat:

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Zitat von MagicMagor

Andererseits sind Polynome stetige Funktionen und in einem abgeschlossenem Intervall (a, b) nimmt f(x) jeden möglichen Wert zwischen f(a) und f(b) genau einmal an sofern f stetig ist. (Mittelwertsatz, wenn ich mich nicht irre) was bedeutet auf einem abgeschlossenem Intervall (a, b) ist ein Polynom immer invertierbar.

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Das kann doch gar nicht stimmen, so wie du es geschrieben hast, oder? o_O Wenn innerhalb von (a, b) ein lokales Extremum liegt kann die Funktion noch so stetig sein, manche Werte werden dann mehrmals angenommen.
Der Mittelwertsatz ist in diesem Zusammenhang, glaube ich, irrelevant. Er besagt iirc, dass in einem Intervall (a, b) immer ein Punkt x0 existiert, in dem die Ableitung f'(x0) einer stetigen Funktion f gleich (f(b) - f(a))/(b - a) ist (also gleich der Steigung zwischen den beiden Stellen a und b der Funktion).

aha
also dann ist das hauptproblem also eigentlich die annahme das ein fixpunkt einer funktion in C auch schnittpunkt mit der umkehrfunktion ist.

das es in R einer ist ist eigentlich klar:

F(x) = y und F^-1 (y) = x

dann ist für ein Xo mit F(Xo) = Xo auch F^-1(Xo) = Xo

also ist das ein schnittpunkt mit der umkehrfunktion.

muss ja aber nich in C gelten.

ich meine,mir fällt auch so jetzt keine funktion ein die einen fixpunkt in C hat...