Partielle/Totale Differenziation

hi

ich hab ein problem mit der folgenden aufgabe:

"Sei F: R²->R

F(x,y) = (x*y)/( x²+y²) falls (x,y) /= (0,0) und 0 falls (x,y)= (0,0)

zeige das F (0,0) partiell diffbar ist aber nicht total."

1.was heisst überhaupt total differenzierbar bei ner funktion mit 2 variablen?

da diese funktion offenbar nicht total diffbar ist kann ich mir auch kein beispiel dafür ausdenken ;/

2. wie soll ich sowas denn zeigen?ich kann die partiellen ableitungen berechnen das reicht doch?

die der graph aussieht hab ich mir schon in 3dmax klargemacht :)

Im Prinzip bedeutet total differenzierbar, dass es keine Spitzen und Ecken hat, an denen sich die "Steigung" ohne Übergang endet.
Für mehrere Variablen bedeutet das, dass jede beliebige "Kurve" darin differenzierbar ist (bzw die Kurven, die durch den Punkt gehen, in dem es sein soll)
Für einen Gegenbeweis reicht es, zwei Kurven rauszusuchen und zu zeigen, dass die Grenzwerte ihrer Steigungen verschieden sind.

maW: du suchst dir zwei (differenzierbare) Funktionen f,g: R->R² die wiederrum Funktionen f~, g~ bilden nach dem Prinzip:

f~ := F(f1(t),f2(t))
g~ := F(g1(t),g2(t))

und zeigst, dass die verschiedene Grenzwerte haben

Ein Tip am Rand: solche Funktionen wie dein F sind meist auch nicht stetig - und da aus nicht stetig folgt, dass etwas nicht differenzierbar ist... sprich wenn du solche f und g findest, sodass ihre Grenzwerte (und nicht erst die ihrer "Ableitungen") verschieden sind oder in dem Beispiel ein f, das an dem Punkt einen Grenzwert ungleich 0 hat, dann bist du fertig

f(t) := (t,t)
-> F(f1(t),f2(t)) = t*t / t² + t² = t² / 2t² = 1/2 für t ungleich 0, Grenzwert auf 0 ist also 1/2 ungleich 0 -> nicht stetig -> nicht total diffbar

Du weisst dass aus der totalen Differenzierbarkeit die Stetigkeit der Funktion folgt. Also ist die Funktion nicht total differenzierbar wenn man zeigen kann, dass sie nicht stetig ist. Das kannst du auch, denn wenn du zB. die Folge (x,y)=(1/n,1/n) nimmst, dann siehst du das der Grenzwert n gegen inf der Funktion 1/2 ist. Nimmst du jedoch die Folge (1/n,1/n^2), dann ist er 0.

Die partielle Differenzierbarkeit kannst du einfach durch partielles Ableiten zeigen. Du musst aber darauf achten, dass du (x,y)=(0,0) seperat betrachtest, wobei die Funktion da ja identisch Null ist. Zeig einfach dass überall die partiellen Ableitungen existieren.

ok die sache mit der totalen differenzierbarkeit war eigentlich zu erwarten :D

ich bekomme für die partiellen ableitungen (nach quotientenregel)raus:

dF(x,y)/dx = (y³+x²y-2x²y)/(x²+y²)²

dF(x,y)/dy = (x³+xy²-2xy²)/(x²+y²)²

"Du musst aber darauf achten, dass du (x,y)=(0,0) seperat betrachtest"

du meinst ich soll nun gucken was bei den ableitungen jeweils passiert wenn x oder x = 0 sind also bei (x,0) und (y,0) ?

oder wieder per limes untersuchen?

hey wieso hab ich denn da keine antwort drauf bekommen :D

ich wiederhole grad den stoff und muss bemerken das ich diesen quatsch immer noch nicht verstanden hab ;/

also seh ich das richtig das in der klausur nur folgendes kommen kann:

-zeige; F ist x (nicht) total diffbar

-> dafür zeige ich (un)stetigkeit in x

-zeige; f ist partiell diffbar.

-> dafür mach nun was?


partiell diffbar folgt aber aus total diffbar soweit ich das zusammenbekomme. aber nicht umgedreht!
hab ich was wichtiges vergessen?