Kurvendiskussion

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21.07.2008, 19:09
thickstone

Kurvendiskussion

So, da wir Hinterwäldler in SH nun endlich auch Ferien haben und bei mir die 11. Klasse nun auch Geschichte ist, geht es ans Nachholen.

Problem bei mir: Ich habe das erste Halbjahr der 11. Klasse nicht mitbekommen, wodurch ich so gut wie nix zum Thema ,,Kurvendiskussion'' weiß. Keine Ahnung, ob ich das noch mal brauche, aber schaden kann es ja nicht.

Meine Frage ist jetzt, ob mir jemand die Grundrechenarten beibringen kann und evtl. Fragen beantworten kann. Vielleicht reicht ja auch schon eine vorgerechnete Beispielaufgabe.

Was ich vom Thema weiß(/glaube zu wissen):

Man muss - Wendepunkt
- Nullstellen
- Minimum/Maximum
- Symetrie
- Ableitungen

.....eines Graphen bestimmen können.

Davon kann ich: Nix (vielleicht Nullstellen)

Hilfe tut also Not!
21.07.2008, 19:38
MagicMagor

Ich versuche mal einen groben Gesamtüberblick zu geben. Kurvendiskussion ist allerdings mMn eines der großen und damit auch wichtigen Gebiete der Oberstufenmathematik (und demnach auch der weiterführenden Mathematik, der man auf der Uni begegnet).

Für eine Kurvendiskussion braucht man logischerweise eine Kurve, bzw. einen Graphen, welchen man im Normalfall durch eine Funktionsgleichung gegeben hat. Die einfachste Art von Funktionen bei denen man Kurvendiskussionen betreibt sind Polynome.
Ein Polynom ist eine Summe aus: a*X^n mit jeweils varriierenden as und ns. Quadratische Gleichungen sind demnach Polynome.
Nullstellen berechnen ist einfach das lösen der entsprechenden Gleichung. Funktionsgleichung gleich 0 setzen und nach X auflösen.

Wichtigstes Konstrukt in der Kurvendiskussion ist die Ableitung. Die Ableitung einer Funktion an der Stelle X ist die Steigung der Tangente am Graphen der Urpsrungsfunktion im Punkt X.

Mathematisch gibt es einige Grundregeln wie man beim ableiten einer Funktion vorgeht:
Bei einer Summe leitet man die Summanden seperat ab und bildet am Ende wieder die Summe.
(f + g)' = f' + g'
Bei Produkten ist das etwas komplizierter
(f*g)' = f'*g + f*g'
Wichtig ist noch die Qutiontenregel (spare ich mir, läßt sich aus der Produktregel ableiten oder nachschlagen) sowie die Kettenregel bei ineinander verschachtelten Funktionen, wobei hier gilt "innere Ableitung mal äußere Ableitung".
Polynome abzuleiten ist relativ einfach. Konstanten, also Summanden die nicht abzuleitende Variable (also X) enthalten, haben 0 als Ableitung.
X^n wird abgeleitet nach n*X^(n-1) entsprechende konstante Faktoren bleiben stehen.
3X^2 wird dann in der Ableitung bspw. zu 3*2X^1 also 6X.
X^3 wird zu 3X^2 etc..

Extremalstellen (Minima und Maxima) sind Punkte in denen die erste Ableitung der Funktion 0 ist und deren Wert in der 2. Ableitung ungleich 0 ist.
Wendepunkte sind in der zweiten Ableitung gleich 0 und in der dritten ungleich 0. Wendepunkte die in der ersten Ableitung 0 als Funktionswert haben sind Sattelpunkte.

Ich hoffe das klingt nicht allzu abstrakt/kompliziert.

Mal eine Beispielrechnung:
Gegeben ist f = X^3 - 4X + 1
Wir bilden zuerst die erste Ableitung:
f' = 3X^2 - 4
Und weil wir sie nachher noch brauchen auch die zweite Ableitung:
f'' = 6X
Zur Bestimmung der Extrema setzen wir die erste Ableitung gleich 0:
0 = 3X^2 - 4
Ergibt X = 2/Wurzel(3) und X = -2/Wurzel(3) als Kanidaten für die Extremstellen. Jetzt setzen wir beide Punkte in die zweite Ableitung ein:
f''(2/Wurzel(3)) = 12/Wurzel(3)
Da dieser Wert ungleich 0 ist, liegt hier eine Extremstelle vor. Da der Wert positiv ist, handelt es sich um ein Minimum. Am anderen Punkt befindet sich entsprechend ein Maximum (da der Wert der 2. Ableitung kleiner 0 ist).
Für die Berechnung des Wendepunktes setzen wir einfach die 2. Ableitung gleich 0, was nur 0 als Wendepunkt ergibt.

Was die Symetrie angeht muss ich allerdings passen. Mein Schulmathe liegt schon etwas zurück und an Symetrie im Bereich der Kurvendiskussion kann ich mich nicht entsinnen.
21.07.2008, 19:55
thickstone

Hey, super, das ging ja schnell.

Also, ich muss mir das dann noch mal zu Gemüte führen, aber auf den 1. Blick scheint das jetzt nicht so heavy zu sein.

Vielen Dank ;)

Vielleicht gibt es ja noch Experten für die Symetrie.
21.07.2008, 20:38
TheBiber

Bei der Symmetrie gibt es an sich nur zwei wesentliche Fälle: Der Funktionsgraph ist symmetrisch zur x=0-Achse oder symmetrisch zum Ursprung. Im ersten Fall nennt man die Funktion gerade, im zweiten Fall ungerade. Formal sind sie folgendermassen definiert:

Gerade Funktion: $f(x)=f(-x)$
Ungerade Funktion: $f(x)=-f(-x)$

Bei Polynomen gilt: Sind alle Potenzen gerade, so ist auch die Funktion gerade, sind alle Potenzen ungerade, dann ist die Funktion ebenfalls ungerade. Kommen beide Formen vor, ist keine Symmetrie gegeben.

Beispiele:

$f(x)=3x^2-4$ ist gerade, da $3x^2-4 = 3(-x)^2-4$

$f(x)=x^3+x$ ist ungerade, weil $x^3+1=-((-x)^3+(-x))$

$f(x)=x^2-8x$ ist unsymmetrisch

Die typischsten Funktionen für Symmetrie sind die trigonometrischen Funktionen: Alle Sinusfunktionen sind ungerade und alle Cosinusfunktionen sind gerade.

Was vielleicht noch wichtig wäre für die Kurvendiskussion sind der maximale Definitionsbereich und das Verhalten der Funktion an den Grenzen. Für Polynome mag dies irrelevant sein, im Allgemeinen ist es aber schon wichtig. Konkret wird der maximale Definitionsbereich bestimmt, in dem man zunächst grundsätzlich von den reellen Zahlen ausgeht und danach Einschränkungen vornimmt. Diese sind praktisch immer von der Natur "Null im Nenner" oder "negative Wurzeln/Logarithmen". Ersteres checkt man ab, indem man den Nenner null setzt. Zweiteres, in dem man den Radikand bzw. das Argument grösser gleich bzw. grösser null setzt. Auflösen nach x ergibt dann den Bereich, der vom Definitionsbereich wegfllt.

Beispiel: $f(x)=\frac{1}{x^2-4}$ . Da hier ein Nenner vorliegt, wird dieser null gesetzt $x^2-4=0$ , auflösen nach x ergibt $x_{1,2}=\pm2$ , d.h. der maximale Definitionsbereich dieser Funktion ist die Menge aller reellen Zahlen ohne die Elemente 2 und -2, formal $\mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash\{2,-2\}$ . Isolierte Definitionslücken nennt man Polstellen.

Beispiel 2: $f(x)=\sqrt{x-2}+\ln(3x+1)$ , hier müssen beide Argumente seperat überprüft werden: $x-2\geq0$ führt auf $x\geq2$ und $3x+1>0$ führt auf $x>\frac{1}{3}$ , x muss also grösser als 1/3 und grösser als oder gleich 2 sein, insgesamt also mindestens 2: $\mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash(-\infty,2)=[2,\infty)$ , ich weiss nicht wie exakt formal du das willst. ;) Aber die Idee sollte klar sein.

Nun kommt noch die Sache mit den Grenzen: Im ersten Beispiel muss geprüft werden, wie die Funktion sich im Unendlichen verhält, sowohl gegen oben wie auch gegen unten: $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x^2-4}\rightarrow0$

$\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1}{x^2-4}\rightarrow0$

Beim zweiten Beispiel, reicht es, unten mit 2 zu begrenzen:

$\lim_{x\rightarrow2}\sqrt{x-2}+\ln(3x+1)=\ln(7)$

$\lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt{x-2}+\ln(3x+1)\rightarrow\infty$ (divergiert, hat also keinen Grenzwert)

Im ersten Beispiel müssen zusätzlich noch die beiden isolierten Polstellen überprüft werden:

$\lim_{x\rightarrow2}\frac{1}{x^2-4}\rightarrow\infty$

$\lim_{x\rightarrow-2}\frac{1}{x^2-4}\rightarrow\infty$

Womit wir also senkrechte Asymptoten erhalten.

Das sollte vorerst reichen. Ganz streng genommen müsste man noch die Stetigkeit prüfen und ebenso, ob sich auch schiefe Asymptoten einstellen. Es gäbe sicher noch ein paar andere Dinge, die noch nicht erwähnt wurden, aber der maximale Definitionsbereich und das Verhalten an dessen Grenzen finde ich noch wichtig.