[Mathe]Quadtratische Funktionen

Ho!

In den letzten Wochen haben wir Quadtratische Funktionen, einzutragen in Koordinatensysteme, durchgenommen. Leider habe ich überhaupt gar nichts verstanden - mein Lehrer weigert sich auch, mir nur irgend etwas zu erklären. Grml. Zugegebener Maßen - ich bin wohl eines der größten Mathe-Idioten an unserer Schule. Ich könnte in jedem Fach eine 2 schaffen, und dennoch in Mathe am Ende mit einer 6 darstehen.

Falls sich jemand die Zeit nehmen will, das einem Mathe-Voll-Honk zu erklären, ich würde mich wirklich sehr freuen. Ich hab's schon mit etlichen Büchern versucht, unter anderem auch die berühmte "Dummies" Reihe - ich habe es aber nie wirklich verstanden.

Okey - wie nehmen einfach mal etwas ganz simples, zumindest denke ich, dass dies simpel ist:

y1 = x²

Und hier das zugehörige Koordinatensystem mit der Parabel, nicht gezeichnet von mir:

http://www.npshare.de/files/36/5709/xquadrat.png

OMG, wie kommt das zu stande? Es ist mir ein totales Rätsel - und das sind ja noch die einfachsten Aufgaben. X_x.

Seht's als Herausforderung an, es jemanden wie mir zu erklären. :D.

Funktionen sind immer so angelegt, dass du etwas für x einsetzt und genau ein y bekommst. Z.B. setzt du für x -3 ein, dann steht da y1 = (-3)^2 was soviel ist wie y1= 9 und dann hast du also einen Punkt P(-3/9) und dort kannst du dann einen Punkt einzeichnen und wenn du dann mehrere Punkte einzeichnest kannst du die quadratische Funktion skizieren.

Um eine Funktion zeichen zu können brauchst du zuerst eine Wertetabelle.
Es gibt noch andere Dinge, die du überprüfen kannst (und solltest) um eine möglichst genaue Skizze anfertigen zu können. Aber wenn ihr jetzt gerade erst mit dem Thema angefangen habt wird das noch früh genug auf dich zukommen.

Eine kleine Wertetabelle für f(x) = x^2 sieht dann z.B. so aus:

f(-2) = (-2)^2 = 4 => (-2 | 4)
f(-1) = (-1)^2 = 1 => (-1 | 1)
f(0) = 0^2 = 0 => (0 | 0)
f(1) = 1^2 = 1 => (1 | 1)
f(2) = 2^2 = 4 => (2 | 4)

Die Punkte, die sich aus dem Einsetzen eines x-Wertes ergeben, kannst du nun in das Koordinatensystem eintragen und dann einfach miteinander verbinden.
Wenn du dir über den genauen Verlauf zwischen zweier Punkte nicht sicher bist, kannst du einfach noch ein paar Werte dazwischen (z.B. 0.25, 0.5) einsetzen um mehr Anhaltspunkte zu haben.

Wenn du nun die Punkte mit deiner Zeichnung vergleichst, wirst du auch sehen, dass es passt. Wenn ich auf der x-Achse auf -2 senkrecht nach oben gehe, treffe ich die rote Linie auf Höhe der 4 auf der y-Achse.

Es ist vielleicht am einfachsten, wenn du dir immer vorstellst, wie die einzelnen Werte aussehen - ich konnte ganz am Anfang auch überhaupt nichts mit diesen ganzen Graphen anfangen, weil einfach nur gesagt wurde: So schauts aus.

Dass das ans Bein laufen kann, zeigt anscheinend auch dein Beispiel =(. Nun bin ich alles andere als ein Mathegenie, aber das befähigt mich wenigstens, dir zu zeigen, wie das Ganze für mich dann angefangen hat, Sinn zu machen.
Allerdings kann es passieren, dass ich großen Mist rede, jedenfalls wird sich bestimmt noch jemand mit Mathebegabung finden, der dir das noch besser erklären kann =3.


Zuerst mal die Grundbegriffe.
Die waagerechte Achse ist die x-Achse, auch Abzissenachse genannt und die dort ablesbaren Zahlen sind die Definition der Funktion.
Die senkrechte Achse ist die y-Achse, auch Ordinatenachse genannt und dort liest man die Werte der Funktion ab.
Dort, wo die y-Achse die x-Achse schneidet, liegt der Koordinatenursprung.

Diese Begriffe sind besonders wichtig, wenn du Funktionen dann Charakterisieren musst.
Aber bleiben wir mal bei deiner Frage ;).

Im Grunde genommen ist y = x² eine vollkommen banale Gleichung, in der y von x abhängig ist, also von x definiert wird. Die Werte, die die Funktion also annehmen kann, werden davon bestimmt, wie groß x ist.
Um sich das besser klar zu machen, schreibe man sich einfach für jeden x-Wert einen y-Wert auf, bedeutet also:
x = 1 --> 1² = 1 --> y = 1
x = 2 --> 2² = 4 --> y = 4
x = 3 --> 3² = 9 --> y = 9
x = 4 --> 4² = 16 --> y = 16
usw., natürlich gehört 0² = 0 dazu.

Wenn du jetzt also bei x = 1 und y = 1 einen Punkt setzt, das gleiche für x = 2 und y = 4, sowie x = 3 und y = 9 und x = 4 und y = 16 wiederholst und die Punkte dann miteinander verbindest, hast du die rechte Seite von deinem Graphen, die sowohl in den positiven x-Werten, als auch in den positiven y-Werten liegt.
Die linke Seite setzt sich genauso zusammen, nur, dass du diesmal negative x-Werte hat, die aber beim Quadrieren positive y-Werte erzeugen (minus mal minus wird plus, folglich ist z.B. -2² = -2 x -2 = 4). So entsteht der typische Bogen einer quadratischen Funktion.

Natürlich lassen sich auf dem Graphen nicht nur natürliche, sondern auch rationale Zahlen ablesen. Du musst dir nur vor Augen halten, dass y das Resultat aus x ist. Wird also x quadriert, ist y ads Quadrat aus x. lautet die Formel y = 2x, so ist y immer das Doppelte von x (und wenn du hier wieder für x Zahlen einsetzt und die in das Koordinatensystem einträgst, wirst du feststellen, dass sie eine Gerade durch den Koordinatenursprung bilden).
Dazu sei gesagt, dass jede Funktion, die den Wert (y) 0 annehmen kann, durch den Koordinatenursprung verläuft.


Okay, soviel erstmal von mir ^.^.

Wenn du zu einem y das x suchen musst, hast du eine quadratische Gleichung. Gehen wir nun davon aus, dass die quadratische Funktion die Form
y=a*x^2 + b*x + c
hat. a, b und c sind beliebige Zahlen. Eine solche quadratisch Gleichung wäre z.B.
y= 2*x^2 - 4*x + 6 // pass auf, b ist hier nicht 4 sondern -4
Jetzt, wenn du ein y einsetzt, musst du es subtrahieren, damit links von der Gleichung 0 steht, hier
0 = 2*x^2 + (-4)*x + 6 -y // hier ist c = 6 -y
Die Anzahl der x die es nun gibt, ist von der Diskriminanten abhängig,
die Diskriminante ist folgendermassen definiert: D = b^2 - 4*a*c
wenn D>0 -> 2 Lösungen für x
wenn D=0 -> 1 Lösung für x (-> y = Höhe des Scheitelpunktes)
wenn D<0 -> es gibt kein passendes x (in deinem Beispiel, unter der Kurve, also wenn das eingesetzte y < 0 ist, Test zu meiner Aussage bei deinem Beispiel: y=x^2 -> a=1 b=0 c=-y -> D=b^2 -4ac ->D=y)
und dann um das x zu bekommen, kannst du die folgende Gleichung verwenden:
http://img167.imageshack.us/img167/2517/formelfq7.jpg
Wenn D= 0 ist, gibt es natürlich nur ein x, aber wenn D>0 ist, dann bekommst du x1 indem du die Wurzel addierst, und wenn du die Wurzel subtrahierst, bekommst du x2.

Um den Scheitelpunkt zu bekommen, gibt es mehrere Wege, z.B. kannst du die Nullstellen (Punkte, wo die Parabel die X-Achse schneidet) addieren und durch 2 teilen. Dieses x liegt dann genau in der Mitte der Nullstellen, da die Parabel symmetrisch ist, muss dies nun das x des Scheitelpunktes sein. x in der quadratischen Funktion einsetzen -> y des Scheitelpunktes

Ich ergänze am besten noch mit einigen Formeln. Die allgemeine quadratische Funktion (und somit Parabel) hat wie gesagt die Form .

Der erste wichtige Wert ist das a, der natürlich nicht 0 sein darf. Er gibt die Streckung bzw. Stauchung der Parabel im Verhältnis zur Standardparbel an. Ist a>0, so ist die Parabel nach oben geöffnet. Ist a<0, ist sie nach unten geöffnet. Ist a dem Betrage nach grösser als 1, so ist die Parabel zusammengestaucht, ist der Betrag zwischen 0 und 1, so ist die Parabel in die Länge gezogen. Die Werte von b bestimmen dann die Verschiebung in x-Richtung, die aber nicht so ganz einfach nachzuvollziehen ist im Allgemeinen. Der Wert von c dagegen ist einfach der Schnittpunkt mit der y-Achse. Am einfachsten bestimmt man zunächst die Nullstellen und den Scheitelpunkt.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind die Nullstellen. Man erhält sie durch nullsetzen der Funktion. Mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen erhält man:

Wird der Term unter der Wurzel (Diskriminante) positiv, erhält man zwei Schnittstellen, wird er 0, dann liegt der Scheitelpunkt genau auf der Schnittstelle, ist er negativ, schneidet die Parabel die x-Achse nicht.

Den Scheitelpunkt erhält man allgemein durch die Formeln: und

Und zum Schluss ist es, wie schon erwähnt wurde, praktisch, wenn man eine Wertetabelle aufstellt. Anhand dieser lässt sich die Parabel meistens sofort zeichnen.

So, entschuldigt die späte Antwort. Ich möchte mich erstmal herzlich bei euch bedanken, eure Posts haben mir sehr geholfen. : ). Danke!

Ich werde mich eventuell die nächsten Tage nochmal melden, falls ich noch Probleme habe.

Okey! Habe jetzt ein neues Problem ^^": Die Scheitelpunktberechnung und die Nullstellungberechnung. Ich hätte 2 ( ich glaube einfache ) Aufgaben, vielleicht könnte mir jemand jeden Rechenschritt erklären, den man benötigt :/.

SP Berechnungsaufgabe:
Y=1/2 x² - 4x + 10

Nullstellenberechnung:

Y= -1/2 (x+1) + 1,5

Wäre echt super, wenn mir das jemand erläutern könnte. Bräuchte unbedingt ne 4 in Mathe ^^.

Die Formel für den Scheitelpunkt hat Biber etwas weiter oben schon hingeschrieben, in die setzt du einfach nur noch deine Werte a,b,c ein, in deinem Falle also a=1/2, b=-4 und c=10

die x-Koordinate des Scheitelpunktes ist also

xs= -b/2a = 4

und die y-Koordinate

ys= 4ac-b^2/4a = 2

Das ergibt den Scheitelpunkt s= (4,2)


Bei der Nullstellenberechnung setzt du die Gleichung einfach gleich 0 und löst dann nach x auf (Nullstelle bedeutet das der Funktionsgraph eben an jenen x-Stellen die x-Achse schneidet), also

Y= -1/2 (x+1) + 1,5 = 0

0 = -0,5 x - 0,5 + 1,5
0 = -0,5 x + 1 / + 0,5x
0,5x = 1 / *2
x = 2
=====

Die Nullstelle dieser linearen Gleichung wäre also 2.

Ber quadratischen Gleichungen ist es etwas kniffliger aber auch dafür gibt es Formeln, steht auch im Post von Biber etwas weiter oben.