Frage zu Grenzwerten der p-Norm oder: Wie geht die "0-Norm"?

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30.01.2008, 18:09
Vincent D. Vanderol

Frage zu Grenzwerten der p-Norm oder: Wie geht die "0-Norm"?

Hiho^^

Mein aktuelles Analysis Zettelchen hat diesmal Aufgaben zu Metrik und Normen und in einer Aufgabe soll ich halt die Grenzwerte der p-Norm bestimmen für p gen unendlich und p gen Null.

Ersteres hab ich gelöst durch abschätzen nach oben, zweiteres wollte ich ähnlich lösen jedoch bleibe ich immer auf einer p-ten Wurzel sitzen die ich nicht wegbekomm, bzw nem Bruch 1/p.

Zur Veranschaulichung mal die Vorgabe

http://www.npshare.de/files/36/8236/0-norm.jpg

Ich wurschtel mal n bissl weiter, aber vielleicht mag sich ja jemand mit Ahnung mal meinem Problem annehmen :D
01.02.2008, 19:18
TheBiber

p-Norm ist für mich ein völlig neuer Begriff, konnte mich aber mal drüber informieren, in welchem Studium braucht man denn sowas wieder? :D

Laut Wikipedia machen p-Normen mit p<1 keinen Sinn, da sie die Dreiecksungleichung verletzen...

Mit der Vorgabe kann ich nicht viel anfangen, aber ich probiere einfach mal das logischste aus, indem ich die Definition darauf anwende und den Grenzwert berechne: $\lim_{p\rightarrow0}||\mathbf{x}||_p = \lim_{p\rightarrow0}(\sum_{i=1}^n|x_i|^p)^{1/p} = \lim_{p\rightarrow0}(\sum_{i=1}^n|x_i|^0)^{1/p} = \lim_{p\rightarrow0}(\sum_{i=1}^n1)^{1/p} = \lim_{p\rightarrow0}n^{1/p} = \lim_{q\rightarrow\infty}n^{q}$

Meiner Meinung nach divergiert der Ausdruck, d.h. die "0-Norm" existiert gar nicht. Was ja auch irgendwie übereinstimmt mit der Behauptung, dass sie keinen Sinn macht. ;)

Falls was anderes herauskommen sollte, würde mich das dann noch interessieren. ^^
01.02.2008, 20:47
Vincent D. Vanderol

Zitat:

Zitat von TheBiber

p-Norm ist für mich ein völlig neuer Begriff, konnte mich aber mal drüber informieren, in welchem Studium braucht man denn sowas wieder? :D

Angeblich fürs Informatik-Studium :D Naja, wir arbeiten uns eigentlich nur zu den Integralen hin die wir für die Signalanalyse und so brauchen >__>"

Divergenz denk ich auch mal, sieht man ja auch wenn man mal artverwandte Funktionen plottet und so, aber was mich an deiner Lösung irgendwo stört daß du die x^p fröhlich schonmal gen null laufen läßt und die p-te Wurzel nicht anrührst, ansonsten is aber schick. :)

Hier mal meine Vorgehensweise so far...

http://www.npshare.de/files/36/4013/bla.jpg

Da folgt ja auch Divergenz draus, right?

Ergebnis gibts btw Dienstag wenn die Übung besprochen wird, ich halt dich gern auf dem laufenden ^_-
01.02.2008, 21:10
TheBiber

Signalanalyse? Hatte ich vor einigen Tagen eine Klausur drüber, das war so richtig unschön...

Zitat:

Zitat von Vincent D. Vanderol

aber was mich an deiner Lösung irgendwo stört daß du die x^p fröhlich schonmal gen null laufen läßt und die p-te Wurzel nicht anrührst, ansonsten is aber schick. :)

Naja, die Limes-Regeln sind auch schon gut ein Jahr her, aber ich hab so eine vage Erinnerung, dass man zusammengesetzte Grenzwerte seperat auswerten darf...? Andererseits, ich mache ein Ingenieur-Studium, da wird man darauf getrimmt, es mathematisch bloss nicht zu genau zu nehmen. ;)

Zu deinem Lösungsweg: In diesem Stil hab ich die Erstsemester-Übungen noch im Gedächtnis, abschätzen und ersetzen. :D Sieht eigentlich ganz gut aus, konsistenter als mein Weg ist er allemal, das Endergebnis ist fast dasselbe.

Da fällt mir noch etwas auf, wenn die Dimension n genau 1 ist, dann existiert tatsächlich eine Lösung, bei dir ln(b) für die Abschätzung und bei mir 1. Frag mich aber nicht, was das jetzt zu bedeuten hat. :D
05.02.2008, 17:37
Vincent D. Vanderol

Kleiner Nachtrag, da heute die Lösung präsentiert wurde: Jaaaa, es war Divergenz :p Lustigerweise war in der Musterlösung ein Fehler drin so daß da was anderes rausgekommen war und den Übungsleiter arg ins Stutzen brachte :D

Auf jeden Fall nochmal danke für die Unterstützung :)