Mathe: Untervektorraum

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11.11.2007, 17:19
Heaven and Hell

Mathe: Untervektorraum

Hey, sorry, dass ich euch mal wieder mit Mathe nerv. Aber ich bin halt eher ein "Rechner" und kein "Definierer".

Meine zu lösende Aufgabe lautet wie folgt:

Im $\mathbb{R}$ -Vektorraum $\mathbb{R}^3$ betrachten wir die Vektoren $v_1 = (1,0,0)$ und $v_2 = (0,1,0)$ .
Die Menge $L (v_1,v_2):=\{\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2 \ | \ \alpha_1, \alpha_2 \ \epsilon \ \mathbb{R}\}$ heißt lineare Hülle oder Aufspann der Menge $\{v_1, v_2 \}.$
a) Zeigen Sie, dass $L(v_1, v_2)$ ein Untervektorraum von $\mathbb{R}^3$ ist.
b) Ist $L(v_1, v_2)$ auch ein Untervektorraum des $\mathbb{C}$ -Vektorraums $\mathbb{C}^3$ ?.

Wahrscheinlich ist es wieder was ganz triviales, aber ich komm einfach nicht drauf. Danke schonmal.
12.11.2007, 19:34
TheBiber

Hmm, lineare Algebra... bin zwar auch eher ein Rechner als ein Beweiser, aber mal sehen, ob man da was machen kann:

a) Ein Untervektorraum bedeutet ja, dass jeder Vektor eines Untervektorraums durch eine Linearkombination wieder im Untervektorraum landen muss. Also mal schauen, was sich denn in $L(v_1,v_2)$ wirklich befindet:

$\alpha_1 v_1 +\alpha_2 v_2 = (\alpha_1, 0, 0) + (0, \alpha_2, 0) = (\alpha_1, \alpha_2, 0) \forall \alpha_1, \alpha_2 \in \mathbb{R}$ , dass heisst, die Summe spannt einen $\mathbb{R}^2$ -Vektorraum auf und das ist gemäss Definition ein Untervektorraum von $\mathbb{R}^3$ , weil $\mathbb{R}^2 \subset \mathbb{R}^3$ .

b) Ich würde mal behaupten ja, aus denselben Überlegungen. $L(v_1, v_2)$ spannt einen vollständigen $\mathbb{R}^2$ -Vektorraum auf. Da $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ und $\mathbb{C}^2 \subset \mathbb{C}^3$ , müsste deshalb gelten $\mathbb{R}^2 \subset \mathbb{C}^2 \subset \mathbb{C}^3$ .

Was zu beweisen war... bzw. so ganz sicher bin ich mir nicht, irgendwie klingt das zu trivial, wie du sagtest. Ausserdem bin ich Ingenieur und nicht Mathematiker. :D
12.11.2007, 19:48
Heaven and Hell

Jau, danke,
ich bin auch Ingenieur ;-)

Besser was triviales anstatt nichts. Von meinen Kumpels an der Uni hat halt wirklich gar keinen so richtig nen Plan bei der Aufgabe. Müss mer halt hoffen, dass die nicht korrigiert wird.