Frage zu Rotationskörpern

[noRkia]

ich wiederhole ja bekanntlich die 13 und dieses jahr is zentralabi.
deshalb hatten die jetzigen kurse einen etwas anderen stundenplan in der 12ten.
heute hab ich erfahren das die sich in mathe auch mit rotationskörpern befasst haben.
es gibt auch nur eine formel nämlich:

V = Integral von a bis b pi mal (f(x))²dx

um das integral zu berechnen muss ich die stammfunktion bilden.
muss man da jetzt erst die stammfunktion bilden (nee?)und dann quadrieren oder umgekehrt?

und 2tens,hier ist ein rechenbeispiel,wie soll man denn die funktion da quadrieren?:

f(x) = -3,75 x^4 + 15 x^2

man soll das integral von 0 bis 2 berechnen.fläche soll ~574,46 sein.

[pazzi]

Rein theoretisch könnte ich mir vorstellen, dass es auch hinhaut, wenn man erst die Stammfunktion bildet, allerdings müsstest du dann beachten, dass du eine verkettete Funktion hast, welche definitiv schwerer aufzuleiten ist, als die Reihe von Produkten, die du nach dem quadrieren hast. Allerdings ist das pure Annahme, da ich bisher immer erst quadriert habe.

Und zu deinem Rechenbeispiel:
( -3,75*x^4 + 15*x^2 )^2
= 225/16*x^8 - 112,5*x^6 + 225*x^4

Davon die Stammfunktion ist:
225/144*x^9 - 225/14*x^7 + 45*x^5

Wenn ich dafür nun die Grenzen 2 und 0 einsetze (wobei der Term bei 0 entsprechend gesamt 0 wird und deshalb vernachlässigt werden kann):
800 - 2057,14 + 1440 ~ 182,86
Diese dann nochmal mit Pi multipliziert und raus kommt ~574,47.

[TheBiber]

muss man da jetzt erst die stammfunktion bilden (nee?)und dann quadrieren oder umgekehrt?


Rein theoretisch könnte ich mir vorstellen, dass es auch hinhaut, wenn man erst die Stammfunktion bildet, allerdings müsstest du dann beachten, dass du eine verkettete Funktion hast, welche definitiv schwerer aufzuleiten ist, als die Reihe von Produkten, die du nach dem quadrieren hast. Allerdings ist das pure Annahme, da ich bisher immer erst quadriert habe.

Setzen wir der Einfachheit halber f(x) := x, dann folgt ∫(f(x))²dx = ∫x²dx.
Erst quadrieren, dann integrieren liefert: ∫x²dx = 1/3*x³.
Erst integrieren, dann quadrieren liefert: (∫xdx)² = (1/2*x²)² = 1/4*x^4.
Wie ihr seht, ist das Ergebnis ganz offensichtlich verschieden. Zwar ist es kein allgemeiner Beweis (hatte ich erfolglos probiert, scheiterte bereits am finden der Stammfunktion), aber ich hoffe, gezeigt zu haben, dass es einen Unterschied macht, ob man zuerst quadriert oder integriert.

[derBenny]

Du bildest den Grenzwert der Summe aller Produkte r²*dx wobei r=f(x).
Das bedeutet: Erst quadrieren, dann integrieren.

[Manuh]

V = Integral von a bis b pi mal (f(x))²dx
um das integral zu berechnen muss ich die stammfunktion bilden.
muss man da jetzt erst die stammfunktion bilden (nee?)und dann quadrieren oder umgekehrt?


Von der Notation her würde ich schon sagen,
erst quadrieren und dann integrieren.
Ansonsten würde ja dastehen: ( Integral blabla von f(x) dx )²