Brauche Hilfe bei Analysis

[noRkia]

hab dem lehrer heut die letztjährige abiaufgabe entlocken können
beim analysisteil hab ich aber immer noch starke probleme -, -
lösung hab ich leider keine und die gibt er auch nich raus ;(

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Für jedes k € R+ ist eine funktion fk(x)gegeben durch:

fk(x) = 1/6k*x³ - x² + 3/2k*x mit x € R

1.1
Untersuchen sie die Funktion für k=3 auf Nullstellen,Extrem und Wendepunkte!


1.2
Berechnen sie für ein allgemeines k > 0 die Nullstellen und bestimmen sie
die von der Kurvenschar und der x-Achse
eingeschlossene Fläche.Für welches k schliesst die Funktion mit der positiven x-Achse 9 FE ein ?

1.3 Stellen sie die Gleichung der Wendetangente auf.

1.4
Eine Parallele zur y-Achse durch den Wendepunkt fk(x) und eine Parallele zur x-Achse durch den Punkt (0 ; 4-k²) bilden mit der x und y-Achse gemeinsam ein Rechteck.Für welchen Wert von k hat es den maximalen Umfang?
Wie gross ist dieser?

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guten morgen ;P
keine chance das raff ich hinten und vorne nicht.

zunächst hab ich das mit den wendepunkten immern noch nicht verstanden.wie gross ist das jetzt die steigung?
wie soll man ausserdem die nullstellen brechnen?substituieren ist ja wohl bei x³ nicht drin.also auch keine pq formel.

ich habe 1,2 ableitung gemacht:

f'3(x)= 1/6x² - 2x + 3
f''3(x)= 1/3x - 2

für extremstellen hab ich erste ableitung = 0 gemacht.

0 = 1/6x² - 2x + 3 also mal 6

0 = x² - 12x + 18 dann pqformel gibt:

x1 = 6 + wrzl 18
x2 = 6 - wrzl 18

dann 2te ableitung von x1 und x2 ergibt

f''3(x1) = wrzl 2 --> Tiefpunkt
f''3(x2) = -wrzl 2 --> Hochpunkt

mehr kann ich nicht: / ^ o^/ huldigt mir trotzdem \^o ^\

also wie berechnet man die wendepunkte?
wie hier die nullstellen?
wie soll man aufgabe 2 lösen?
und den rest ?

erwarte keine musterlösungen,hinweise genügen erstmal,matheabi "erst" in 4 wochen.

[caius.cosades]

Zu den Nullstellen:

Aus der 1. Gleichung fk(x) = 1/6k*x³ - x² + 3/2k*x klammerst du x aus, sodass dann da steht fk(x) = x * (1/6k*x² - x + 3/2k). Da eine Gleichung aus zwei Faktoren 0 wird, wenn ein Faktor 0 ist, hast du die erste Nullstelle für x=0. Für die anderen Nullstellen löst du dann den zweiten Teil der Gleichung mit der p-q-Formel.

Wendepunkte:

2. Ableitung (f''3(x)= 1/3x - 2) gleich 0 setzen und nach x auflösen. Dieses x dann in die allererste Gleichung einsetzen, denn du sollst ja Wendepunkte ermitteln.

Aufgabe 1.2 - Allgemeine Nullstellen:

In der Gleichung, wie oben, x ausklammern - damit erhälst du x1=0, eine Nullstelle, die allen Kurven gemeinsam ist; und 2 andere Nullstellen, die in Abhängigkeit von k angegeben werden.

Fläche unter der Kurve:

Bilde eine Stammfunktion der gegebenen Funktion. Danach "hangelst" du dich von Nullstellle zu Nullstelle und bildest jeweils die Differenz F(x2)-F(x1). Danach summierst du diese Teilflächen und hast die Gesamtfläche.

1.3 Wendetangente:

Die 1. Ableitung gibt bekanntlich den Anstieg der Funktion an. Du setzt also die x-Koordinate des Wendepunktes in die 1. Ableitung. Da die Tangente die Gleichung y=m*x+n erfüllen muss und du m eben ermittelt hast, setzt du einfach noch die x- und y-Werte des Wendepunktes, der ja auch auf der Tangente liegen muss, ein und stellst nach n um.

1.4 ist etwas umfangreicher und wird nachgereicht.;)

EDIT:
Die Parallele zur x-Achse gibt den Abstand y vor: y=4-k². Die Paralle zur y-Achse durch den Wendepunkt den Abstand x (2*k, wenn ich mich nicht verrechnet habe). Der Umfang eines Rechteckes berechnet sich zu u=2*(a+b), in unserem Fall also u=2*(x+y) - diese Größe soll maximal werden.
Nun setzt du x und y ein, du erhälst u in Abhängigkeit von k: u(k)=2*(2*k+4-k²).
Der maximale Umfang stellt ein Extremum dieser Funktion dar, du benötigst also ihre 1. Ableitung. Diese setzt du dann gleich 0 und löst nach k auf.
Abschließend muss zur Vollständigkeit der Lösung noch u für dieses k ermittelt werden (10LE). Antwort/Ergebnis nicht vergessen... ;)

[noRkia]

wau
vielen dank.

wenn ich beim wiederholten durchrechnen noch fragen hab melde ich mich ^ ^