Eine Frage zur Lösung einer Matrix (bitte noch heute antworten wenns geht)

[Bauzi]

Jau! Morgen habe ich Prüfung und gehe gerade die Prüfungsbeispiele der letzten Jahre durch, dabei kam mir dieses Beispiel in die Augen.

Ich soll aus dieser Matritze die Determinante bilden:

1 2 1 1 1
1 4 -1 8 1
1 2 1 1 1
1 0 2 1 1
1 2 1 4 1

Ganz klar:
1. Spalte und 4. Spalte sind ident, genau so, wie die 1. Reihe und die 3.

Frage:
-Ich habe gelernt, dass wenn einer dieser Fälle zB eintritt dann ist die Determinante 0, ABER gilt diese Regel auch für diese Matrix?
Oder streiche ich am Ende noch diese Zeilen und rechne mit:

4 -1 8
0 2 1
2 0 4

weiter?

Wir haben leider keine Beispiele für eine 5x5 Matrix durchgenohmen und in meinem Buch stehen keine Beispiele zur Lösung einer 5x5 Matrix und besonders keines für so einen Fall.

[Fensi]

1 Semester Lineare Algebra haben ergeben:

Wenn es eine Zeile oder eine Spalte doppelt gibt, ist det = 0. Das gilt für beliebige (n*n)-Matrizen.

[Bauzi]

Super! Danke. :)

[Dhan]

ansonsten für die Zukunft: die Determinante ändert sich nicht, wenn du Zeilen- oder Spaltenumformungen machst (also eine Zeile oder Spalte mit etwas malgenommen von einer anderen abziehen/addieren - natürlich nicht mit sich selbst) und wenn du 2 Spalten oder Zeilen austauschst, hat die entstehende Matrix diesselbe Determinante nur negativ
wenn du eine Diagonale hast, die von links oben nach rechts unten geht und über oder unter der Diagonalen alle Einträge 0 sind, so ist die Determinante das Produkt der Zahlen in der Diagonalen

(der Rang ändert sich übrigens bei Spalten- und Zeilenumformen und beim Vertauschen nicht wenn du den mal bestimmen musst)