Mathe: Lineare Algebra -> Elementarmatrizen

[Dolem]

Schreibe die Matrix
X=
3 -5
-1 2

als Produkt von Elementarmatrizen.
Ich muss irgendwas bei der Umformung von X auf die Einheitsmatrix und den daraus resultierenden Elementarmatrizen falsch machen, aber ich komme einfach nicht darauf, was genau...

[Bauzi]

Blah! Matritzen. Das ist bei mir unter anderem Prüfungsstoff bei mir am Donnerstag.
Umso erschreckender, dass ich nicht gleich die Lösung weiß, aber mal sehen...

Gut also ich hab mich 5 Minuten drann gesetzt und das Gauß-Jordan verfahren angewand:
http://img191.imageshack.us/img191/3503/scannenzn3.jpg
Im Endeffekt hab ich die Inverse Matrix gebildet, ob du das jetzt brauchst oder gesucht ist, weiß ich nicht.


2x2 Matritzen sind langweilig, weil es erst ab 4x4 lustig wird ;)

Achja: Das macht einen Creditseintrag bei deinen Hausübungen. Fragen?

Wenn du nicht weißt warum/was und wie ich das alles getan habe dann frag lieber, weil es nützt dir nichts wenn du es nicht verstehst.

[Jinjukei]

@Bauzi:
Das waren wohl 5min zu wenig. Was ist "A"? Was soll "A|E" sein? Ich nehme an, dass soll den GJ-Algorithmus darstellen mit E als Einheitsmatrix. Es gibt aber kein Operator mit |. Du kannst das also so leider nicht darstellen. Ich weiss, ist total zickig, aber gehört sich nun mal so :/. Zweitens hast du grobe Fehler beim Algorithmus gemacht. Und wenn du dir nicht sicher bist ob es richtig war, was du gerechnet hast, dann verwende doch einfach das Matrixprodukt. Wenn A^-1 die Inverse von seinem X sein soll, dann müsste doch das Matrixprodukt X*A^-1=E ergeben ... aber bei deiner "Inversen" gibt das gerade nur die Zeilenvertauschung, was btw gerade den Typ2 der Elementarmatrizen gibt.

@Dolem:
Bevor du erst einmal losrechnest, musst du die Bedingungen erfüllen. Zum Beispiel ob die Matrix, die du Invertieren willst, überhaupt invertierbar ist. Wie bekommst du das raus? Ist sie das, dann kannst du sie als Produkt von Elementarmatrizen schreiben.
Und nun zu deiner wahrscheinlich wichtigsten Frage ;). Wie kann man nun eine Matrix als Produkt von Elementarmatrizen darstellen. Ganz einfach, fals man sich anstrengt es zu verstehen. Um bei einem Gauss'schen Algorithmus auf die Lösung zu kommen, darfst du bestimmte Umformungen machen, die die Lösung nicht verändern! Diese Umformungen sind gerade die Multiplikationen der Elementarmatrizen mit der Matrix (Gleichungssystem), die du lösen willst. Da du aber auch mit diesen elementaren Umformungen die Inverse bestimmst, kannst du also auch die Inverse über Multiplikationen mit den Elementarmatrizen bestimmen.

Du kommst mit den Multiplikationen der Elementarmatrizen mit X auf die Einheitsmatrix. Und da die Einheitsmatrix eine Elementarmatrix ist und da E^-1=E ist, kannst du X über die Elementarmatrizen darstellen. Du musst dir halt jetzt die Elementarmatrizen bzw. die Operationen üfr die Umformungen ankukn.

Falls noch unklar, dann kann ich dir nochn Beispiel zeigen, aber überleg halt bisschen zuerst ;)

[Bauzi]

@Bauzi:
Das waren wohl 5min zu wenig. Was ist "A"? Was soll "A|E" sein? Ich nehme an, dass soll den GJ-Algorithmus darstellen mit E als Einheitsmatrix. Es gibt aber kein Operator mit |. Du kannst das also so leider nicht darstellen. Ich weiss, ist total zickig, aber gehört sich nun mal so :/.

I protest!
Es ist zwar Nonsense was ich da mit dem Einheitsvektor dahinter aufgeührt habe, weil ich die Multiplikation usw vergessen habe mit einzubeziehen, aber diese Methode stimmt.

A...Matrix
E...Einheitsmatrix


Es gibt aber kein Operator mit |.
Und es ist ja nicht ein Oprator sondern schlichtweg eine Abgrenzung :rolleyes:
Diese Schreibweise ist Uniniveau.
http://img300.imageshack.us/img300/8338/scannen0003oa7.jpg

[Dolem]

Jojo, danke für eure Mühen, hab es glücklicherweise jetzt auch schon so rausgefunden.

Hauptproblem war eher das wenn ich bei der Umformung von X in die Einheitsmatrix und den daraus resultierenden Elementarmatrizen am ende mit E1-4 ( Elementarmatrizen ) dastand aber ich nie X raus bekam wenn ich sie einfach miteinander multipliziert habe. Hat etwas gedauert bis ich rausgefunden habe das X nur dann raus kommt wenn ich E1^(-1) * E2^(-2) * ... multipliziere und nicht einfach E1*E3*E3*E4=X